Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ è indefinita.

$x = - 1, x = 3$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 1$ da sinistra e $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 1$ da destra, allora $x = - 1$ è un asintoto verticale.

$x = - 1$

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 6.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - 5 x^{2} + 6 x$ .

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Passaggio 6.1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Passaggio 6.1.1.1.2

Scomponi $x$ da $- 5 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 5 x) + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Passaggio 6.1.1.1.3

Scomponi $x$ da $6 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 5 x) + x \cdot 6}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Passaggio 6.1.1.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x (- 5 x)$ .

$\frac{x (x^{2} - 5 x) + x \cdot 6}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Passaggio 6.1.1.1.5

Scomponi $x$ da $x (x^{2} - 5 x) + x \cdot 6$ .

$\frac{x (x^{2} - 5 x + 6)}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Passaggio 6.1.1.2

Scomponi $x^{2} - 5 x + 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.1.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 3, - 2$

Passaggio 6.1.1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{x ((x - 3) (x - 2))}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2} + 6 x + 9$ .

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Passaggio 6.1.2.1.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 6 x + 9}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Scomponi $3$ da $6 x$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 9}$

Passaggio 6.1.2.1.3

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (3)}$

Passaggio 6.1.2.1.4

Scomponi $3$ da $3 (- x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (3)}$

Passaggio 6.1.2.1.5

Scomponi $3$ da $3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (3)$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 x + 3)}$

Passaggio 6.1.2.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 6.1.2.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ e la cui somma è $b = 2$ .

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Passaggio 6.1.2.2.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 (x) + 3)}$

Passaggio 6.1.2.2.1.2

Riscrivi $2$ come $- 1$ più $3$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3)}$

Passaggio 6.1.2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} - 1 x + 3 x + 3)}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 6.1.2.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 ((- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3)}$

Passaggio 6.1.2.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (x (- x - 1) - 3 (- x - 1))}$

Passaggio 6.1.2.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 1$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 ((- x - 1) (x - 3))}$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x - 1) (x - 3)}$

Passaggio 6.1.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.1.3.1

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

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Passaggio 6.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x - 1) (x - 3)}$

Passaggio 6.1.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (x - 2)}{3 (- x - 1)}$

Passaggio 6.1.3.2

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x) - 1)}$

Passaggio 6.1.3.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x) - 1 (1))}$

Passaggio 6.1.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x + 1))}$

Passaggio 6.1.3.5

Riscrivi i negativi.

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Passaggio 6.1.3.5.1

Riscrivi $- (x + 1)$ come $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- 1 (x + 1))}$

Passaggio 6.1.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x (x - 2)}{3 (x + 1)}$

Passaggio 6.2

Espandi $- x (x - 2)$ .

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Passaggio 6.2.1

Nega $x$ .

$\frac{- x (x - 2)}{3 (x + 1)}$

Passaggio 6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 2}{3 (x + 1)}$

Passaggio 6.2.3

Sposta $x$ .

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Passaggio 6.2.4

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Passaggio 6.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Passaggio 6.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Passaggio 6.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Passaggio 6.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Passaggio 6.2.9

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 (x + 1)}$

Passaggio 6.3

Espandi $3 (x + 1)$ .

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Passaggio 6.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 3 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

Passaggio 6.4

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Passaggio 6.5

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				-	$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Passaggio 6.6

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 6.7

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} - x$

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 6.8

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$

Passaggio 6.9

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$

Passaggio 6.10

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$

Passaggio 6.11

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$3$

Passaggio 6.12

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x + 3$

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$3$

Passaggio 6.13

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$3$
							-	$3$

Passaggio 6.14

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$- \frac{x}{3} + 1 - \frac{3}{3 x + 3}$

Passaggio 6.15

Dividi la soluzione in porzione polinomiale e resto.

$- \frac{x}{3} + 1 + \frac{3 x - 9}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Passaggio 6.16

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = - \frac{x}{3} + 1$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 1$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = - \frac{x}{3} + 1$

Passaggio 8