Precalcolo Esempi

$f (x) = \sqrt[5]{x + 3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \sqrt[5]{x + 3}$ come un'equazione.

$y = \sqrt[5]{x + 3}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \sqrt[5]{y + 3}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt[5]{y + 3} = x$ .

$\sqrt[5]{y + 3} = x$

Passaggio 3.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva entrambi i lati dell'equazione alla $5$ potenza.

${\sqrt[5]{y + 3}}^{5} = x^{5}$

Passaggio 3.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{y + 3}$ come ${(y + 3)}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(y + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = x^{5}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${({(y + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(y + 3)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y + 3)}^{1} = x^{5}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica.

$y + 3 = x^{5}$

Passaggio 3.4

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = x^{5} - 3$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = x^{5} - 3$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = x^{5} - 3$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt[5]{x + 3}$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 3})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 3}) = {(\sqrt[5]{x + 3})}^{5} - 3$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi ${\sqrt[5]{x + 3}}^{5}$ come $x + 3$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{x + 3}$ come ${(x + 3)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 3}) = {({(x + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 3$

Passaggio 5.2.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 3$

Passaggio 5.2.3.3

$\frac{1}{5}$ e $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{5}{5}} - 3$

Passaggio 5.2.3.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 5.2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{5}{5}} - 3$

Passaggio 5.2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 3}) = (x + 3) - 3$

Passaggio 5.2.3.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 3}) = x + 3 - 3$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x + 3 - 3$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 3}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x + 3}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (x^{5} - 3)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{5} - 3) = \sqrt[5]{(x^{5} - 3) + 3}$

Passaggio 5.3.3

Somma $- 3$ e $3$ .

$f (x^{5} - 3) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

Passaggio 5.3.4

Somma $x^{5}$ e $0$ .

$f (x^{5} - 3) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Passaggio 5.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f (x^{5} - 3) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = x^{5} - 3$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt[5]{x + 3}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{5} - 3$