Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{5}}{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x^{5}}{7}$ come un'equazione.

$y = \frac{x^{5}}{7}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{y^{5}}{7}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y^{5}}{7} = x$ .

$\frac{y^{5}}{7} = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $7$ .

$7 \frac{y^{5}}{7} = 7 x$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$7 \frac{y^{5}}{7} = 7 x$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{5} = 7 x$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[5]{7 x}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{7 x}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{7 x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x^{5}}{7}$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{x^{5}}{7})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{7}) = \sqrt[5]{7 (\frac{x^{5}}{7})}$

Passaggio 5.2.3

$7$ e $\frac{x^{5}}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{7}) = \sqrt[5]{\frac{7 x^{5}}{7}}$

Passaggio 5.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.4.1

Riduci l'espressione $\frac{7 x^{5}}{7}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{7}) = \sqrt[5]{\frac{7 x^{5}}{7}}$

Passaggio 5.2.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{7}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1}}$

Passaggio 5.2.4.2

Dividi $x^{5}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{7}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Passaggio 5.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{7}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\sqrt[5]{7 x})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[5]{7 x}) = \frac{{(\sqrt[5]{7 x})}^{5}}{7}$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi ${\sqrt[5]{7 x}}^{5}$ come $7 x$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{7 x}$ come ${(7 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{7 x}) = \frac{{({(7 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{7}$

Passaggio 5.3.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{7 x}) = \frac{{(7 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{7}$

Passaggio 5.3.3.3

$\frac{1}{5}$ e $5$ .

$f (\sqrt[5]{7 x}) = \frac{{(7 x)}^{\frac{5}{5}}}{7}$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 5.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt[5]{7 x}) = \frac{{(7 x)}^{\frac{5}{5}}}{7}$

Passaggio 5.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt[5]{7 x}) = \frac{7 x}{7}$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica.

$f (\sqrt[5]{7 x}) = \frac{7 x}{7}$

Passaggio 5.3.4

Elimina il fattore comune di $7$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt[5]{7 x}) = \frac{7 x}{7}$

Passaggio 5.3.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f (\sqrt[5]{7 x}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{7 x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x^{5}}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{7 x}$