Precalcolo Esempi

$\sqrt{\sqrt{x + 1} + 1}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{x + 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x + 1 \geq 0$

Passaggio 2

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 1$

Passaggio 3

Imposta il radicando in $\sqrt{\sqrt{x + 1} + 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\sqrt{x + 1} + 1 \geq 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\sqrt{x + 1} \geq - 1$

Passaggio 4.2

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{x + 1}}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x + 1)}^{1} \geq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica.

$x + 1 \geq {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x + 1 \geq 1$

Passaggio 4.4

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq 1 - 1$

Passaggio 4.4.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$x \geq 0$

Passaggio 4.5

Trova il dominio di $\sqrt{x + 1} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x + 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x + 1 \geq 0$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 1$

Passaggio 4.5.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 1, \infty)$

Passaggio 4.6

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Passaggio 4.7

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 4.7.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{(- 4) + 1} + 1 \geq 0$

Passaggio 4.7.1.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

Falso

Passaggio 4.7.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 0.5$

Passaggio 4.7.2.2

Sostituisci $x$ con $- 0.5$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{(- 0.5) + 1} + 1 \geq 0$

Passaggio 4.7.2.3

Il lato sinistro di $1.70710678$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.7.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 4.7.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{(2) + 1} + 1 \geq 0$

Passaggio 4.7.3.3

Il lato sinistro di $2.7320508$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.7.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Vero

$x > 0$ Vero

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Vero

$x > 0$ Vero

Passaggio 4.8

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 1 \leq x \leq 0$ o $x \geq 0$

Passaggio 4.9

Combina gli intervalli.

$x \geq - 1$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq - 1}$

Passaggio 6