Precalcolo Esempi

$g (t) = \frac{\ln (π - | t |)}{\sin (t) - \frac{1}{2}}$

Passaggio 1

Imposta l'argomento in $\ln (π - | t |)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$π - | t | > 0$

Passaggio 2

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scrivi $π - | t | > 0$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$t \geq 0$

Passaggio 2.1.2

Nella parte in cui $t$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$π - t > 0$

Passaggio 2.1.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$t < 0$

Passaggio 2.1.4

Nella parte in cui $t$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$π - - t > 0$

Passaggio 2.1.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π - - t > 0 & t < 0 \end{cases}$

Passaggio 2.1.6

Moltiplica $- - t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π + 1 t > 0 & t < 0 \end{cases}$

Passaggio 2.1.6.2

Moltiplica $t$ per $1$ .

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π + t > 0 & t < 0 \end{cases}$

Passaggio 2.2

Risolvi $π - t > 0$ dove $t \geq 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Risolvi $π - t > 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sottrai $π$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- t > - π$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- t > - π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- t > - π$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- t}{- 1} < \frac{- π}{- 1}$

Passaggio 2.2.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{t}{1} < \frac{- π}{- 1}$

Passaggio 2.2.1.2.2.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t < \frac{- π}{- 1}$

Passaggio 2.2.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$t < \frac{π}{1}$

Passaggio 2.2.1.2.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$t < π$

Passaggio 2.2.2

Trova l'intersezione di $t < π$ e $t \geq 0$ .

$0 \leq t < π$

Passaggio 2.3

Risolvi $π + t > 0$ dove $t < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sottrai $π$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$t > - π$

Passaggio 2.3.2

Trova l'intersezione di $t > - π$ e $t < 0$ .

$- π < t < 0$

Passaggio 2.4

Trova l'unione delle soluzioni.

$- π < t < π$

Passaggio 3

Imposta il denominatore in $\frac{\ln (π - | t |)}{\sin (t) - \frac{1}{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sin (t) - \frac{1}{2} = 0$

Passaggio 4

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Somma $\frac{1}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (t) = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2

Trova il valore dell'incognita $t$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$t = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}$

Passaggio 4.4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$t = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 4.5

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 4.5.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 4.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$t = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 4.5.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$t = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 4.6

Trova il periodo di $\sin (t)$ .

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Passaggio 4.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.7

Il periodo della funzione $\sin (t)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$t = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di $t$ che rendono definita l'espressione.

Notazione intensiva:

${t | - π < t < π, t \neq \frac{π}{6} + 2 π n, t \neq \frac{5 π}{6} + 2 π n}$

Passaggio 6