Precalcolo Esempi

$f (x) = {(x - 8)}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = {(x - 8)}^{7}$ come un'equazione.

$y = {(x - 8)}^{7}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = {(y - 8)}^{7}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come ${(y - 8)}^{7} = x$ .

${(y - 8)}^{7} = x$

Passaggio 3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y - 8 = \sqrt[7]{x}$

Passaggio 3.3

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \sqrt[7]{x} + 8$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 8$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 8$ è l'inverso di $f (x) = {(x - 8)}^{7}$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} ({(x - 8)}^{7})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = \sqrt[7]{{(x - 8)}^{7}} + 8$

Passaggio 5.2.3

Rimuovi le parentesi.

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = \sqrt[7]{{(x - 8)}^{7}} + 8$

Passaggio 5.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = x - 8 + 8$

Passaggio 5.2.5

Combina i termini opposti in $x - 8 + 8$ .

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Passaggio 5.2.5.1

Somma $- 8$ e $8$ .

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = x + 0$

Passaggio 5.2.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\sqrt[7]{x} + 8)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = {((\sqrt[7]{x} + 8) - 8)}^{7}$

Passaggio 5.3.3

Combina i termini opposti in $(\sqrt[7]{x} + 8) - 8$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = {(\sqrt[7]{x} + 0)}^{7}$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $\sqrt[7]{x}$ e $0$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = {\sqrt[7]{x}}^{7}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ come $x$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[7]{x}$ come $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = {(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$

Passaggio 5.3.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Passaggio 5.3.4.3

$\frac{1}{7}$ e $7$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x^{\frac{7}{7}}$

Passaggio 5.3.4.4

Elimina il fattore comune di $7$ .

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Passaggio 5.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x^{\frac{7}{7}}$

Passaggio 5.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x$

Passaggio 5.3.4.5

Semplifica.

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 8$ è l'inverso di $f (x) = {(x - 8)}^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 8$