Precalcolo Esempi

$y = \frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$ è indefinita.

$x = - 5, x = - 3$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 5$ da sinistra e $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 5$ da destra, allora $x = - 5$ è un asintoto verticale.

$x = - 5$

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 6.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 6.1.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(x^{3} + 3 x^{2}) - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$

Passaggio 6.1.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x^{2} (x + 3) - 4 (x + 3)}{x^{2} + 8 x + 15}$

Passaggio 6.1.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 3$ .

$\frac{(x + 3) (x^{2} - 4)}{x^{2} + 8 x + 15}$

Passaggio 6.1.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x^{2} - 2^{2})}{x^{2} + 8 x + 15}$

Passaggio 6.1.1.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{(x + 3) (x + 2) (x - 2)}{x^{2} + 8 x + 15}$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $x^{2} + 8 x + 15$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $15$ e la cui somma è $8$ .

$3, 5$

Passaggio 6.1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{(x + 3) (x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x + 5)}$

Passaggio 6.1.3

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

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Passaggio 6.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 3) (x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x + 5)}$

Passaggio 6.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 5}$

Passaggio 6.2

Espandi $(x + 2) (x - 2)$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2)}{x + 5}$

Passaggio 6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}{x + 5}$

Passaggio 6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

Passaggio 6.2.4

Riordina $x$ e $- 2$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

Passaggio 6.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

Passaggio 6.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

Passaggio 6.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 1} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

Passaggio 6.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

Passaggio 6.2.9

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 x - 4}{x + 5}$

Passaggio 6.2.10

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 4}{x + 5}$

Passaggio 6.2.11

Sottrai $4$ da $0$ .

$\frac{x^{2} - 4}{x + 5}$

Passaggio 6.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$5$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Passaggio 6.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x$
	$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$

Passaggio 6.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			+	$x^{2}$	+	$5 x$

Passaggio 6.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + 5 x$

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 6.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$

Passaggio 6.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$

Passaggio 6.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 5 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$

Passaggio 6.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$
					-	$5 x$	-	$25$

Passaggio 6.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 5 x - 25$

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$
					+	$5 x$	+	$25$

Passaggio 6.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$
					+	$5 x$	+	$25$
							+	$21$

Passaggio 6.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x - 5 + \frac{21}{x + 5}$

Passaggio 6.14

Dividi la soluzione in porzione polinomiale e resto.

$x - 5 + \frac{21 x + 63}{x^{2} + 8 x + 15}$

Passaggio 6.15

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x - 5$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 5$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x - 5$

Passaggio 8