Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ come un'equazione.

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{4}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = x$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $4$ .

$4 \frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = 4 x$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = 4 x$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{\frac{1}{2}} = 4 x$

Passaggio 3.4

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Passaggio 3.5

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Passaggio 3.5.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Passaggio 3.5.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(4 x)}^{2}$

Passaggio 3.5.1.1.2

Semplifica.

$y = {(4 x)}^{2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica ${(4 x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $4 x$ .

$y = 4^{2} x^{2}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = 16 x^{2}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 {(\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4})}^{2}$

Passaggio 5.2.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}})$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}})$

Passaggio 5.2.4.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}})$

Passaggio 5.2.4.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{4^{2}})$

Passaggio 5.2.4.2

Semplifica.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{4^{2}})$

Passaggio 5.2.5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{16})$

Passaggio 5.2.5.2

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{16})$

Passaggio 5.2.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (16 x^{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (16 x^{2}) = \frac{{(16 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Applica la regola del prodotto a $16 x^{2}$ .

$f (16 x^{2}) = \frac{16^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f (16 x^{2}) = \frac{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Passaggio 5.3.3.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (16 x^{2}) = \frac{4^{2 (\frac{1}{2})} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (16 x^{2}) = \frac{4^{2 (\frac{1}{2})} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Passaggio 5.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Passaggio 5.3.3.5

Calcola l'esponente.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Passaggio 5.3.3.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x^{2 (\frac{1}{2})}}{4}$

Passaggio 5.3.3.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x^{2 (\frac{1}{2})}}{4}$

Passaggio 5.3.3.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x}{4}$

Passaggio 5.3.3.7

Semplifica.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x}{4}$

Passaggio 5.3.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x}{4}$

Passaggio 5.3.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f (16 x^{2}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$