Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $e^{2 x}$ come un elevamento a potenza.

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

Passaggio 2.2

Sostituisci $u$ a $e^{x}$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Scomponi $u^{2} - u - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 2, 1$

Passaggio 2.3.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Passaggio 2.3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 2.3.3

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ .

$u - 2 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 2$

Passaggio 2.3.4

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 2.3.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 2.3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 2) (u + 1) = 0$ vera.

$u = 2, - 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci $2$ a $u$ in $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Passaggio 2.5

Risolvi $2 = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Passaggio 2.5.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Passaggio 2.5.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Passaggio 2.5.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Passaggio 2.5.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (2)$

Passaggio 2.6

Sostituisci $- 1$ a $u$ in $u = e^{x}$ .

$- 1 = e^{x}$

Passaggio 2.7

Risolvi $- 1 = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = - 1$ .

$e^{x} = - 1$

Passaggio 2.7.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Passaggio 2.7.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- 1)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.7.4

Non c'è soluzione per $e^{x} = - 1$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.8

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \ln (2)$

Passaggio 2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \geq \ln (2)$

Passaggio 3

Imposta il denominatore in $\frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2} = 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ come ${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Semplifica.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0^{2}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi $e^{2 x}$ come ${(e^{x})}^{2}$ .

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

Passaggio 4.3.1.2

Sia $u = e^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{x}$ con $u$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Passaggio 4.3.1.3

Scomponi $u^{2} - u - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 2, 1$

Passaggio 4.3.1.3.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Passaggio 4.3.1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x}$ .

$(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$

Passaggio 4.3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

$e^{x} + 1 = 0$

Passaggio 4.3.3

Imposta $e^{x} - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Imposta $e^{x} - 2$ uguale a $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

Passaggio 4.3.3.2

Risolvi $e^{x} - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$e^{x} = 2$

Passaggio 4.3.3.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Passaggio 4.3.3.2.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Passaggio 4.3.3.2.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Passaggio 4.3.3.2.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (2)$

Passaggio 4.3.4

Imposta $e^{x} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Imposta $e^{x} + 1$ uguale a $0$ .

$e^{x} + 1 = 0$

Passaggio 4.3.4.2

Risolvi $e^{x} + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{x} = - 1$

Passaggio 4.3.4.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Passaggio 4.3.4.2.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- 1)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.3.4.2.4

Non c'è soluzione per $e^{x} = - 1$

Nessuna soluzione

Passaggio 4.3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$ vera.

$x = \ln (2)$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(\ln (2), \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > \ln (2)}$

Passaggio 6