Precalcolo Esempi

$f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ come un'equazione.

$y = 2 (x^{7} + 2)$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 2 (y^{7} + 2)$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $2 (y^{7} + 2) = x$ .

$2 (y^{7} + 2) = x$

Passaggio 3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (y^{7} + 2) = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (y^{7} + 2) = x$ .

$\frac{2 (y^{7} + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (y^{7} + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $y^{7} + 2$ per $1$ .

$y^{7} + 2 = \frac{x}{2}$

Passaggio 3.3

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{7} = \frac{x}{2} - 2$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2}$

Passaggio 3.5

Semplifica $\sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 3.5.2

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[7]{\frac{x - 2 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$y = \sqrt[7]{\frac{x - 4}{2}}$

Passaggio 3.5.5

Riscrivi $\sqrt[7]{\frac{x - 4}{2}}$ come $\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ è l'inverso di $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (2 (x^{7} + 2))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \frac{\sqrt[7]{(2 (x^{7} + 2)) - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

Passaggio 5.2.3

Combina $\sqrt[7]{2 (x^{7} + 2) - 4}$ e $\sqrt[7]{2}$ in un singolo radicale.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2) - 4}{2}}$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $2$ da $2 (x^{7} + 2) - 4$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2) + 2 \cdot - 2}{2}}$

Passaggio 5.2.4.2

Scomponi $2$ da $2 (x^{7} + 2) + 2 \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2 - 2)}{2}}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 5.2.5.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 0)}{2}}$

Passaggio 5.2.5.2

Somma $x^{7}$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 x^{7}}{2}}$

Passaggio 5.2.6

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.6.1

Riduci l'espressione $\frac{2 x^{7}}{2}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 x^{7}}{2}}$

Passaggio 5.2.6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

Passaggio 5.2.6.2

Dividi $x^{7}$ per $1$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Passaggio 5.2.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 ({(\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}})}^{7} + 2)$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{\sqrt[7]{x - 4}}^{7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi ${\sqrt[7]{x - 4}}^{7}$ come $x - 4$ .

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Passaggio 5.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[7]{x - 4}$ come ${(x - 4)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{({(x - 4)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Passaggio 5.3.3.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Passaggio 5.3.3.2.3

$\frac{1}{7}$ e $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Passaggio 5.3.3.2.4

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Passaggio 5.3.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Passaggio 5.3.3.2.5

Semplifica.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Passaggio 5.3.3.3

Riscrivi ${\sqrt[7]{2}}^{7}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[7]{2}$ come $2^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{(2^{\frac{1}{7}})}^{7}} + 2)$

Passaggio 5.3.3.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{1}{7} \cdot 7}} + 2)$

Passaggio 5.3.3.3.3

$\frac{1}{7}$ e $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{7}{7}}} + 2)$

Passaggio 5.3.3.3.4

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{7}{7}}} + 2)$

Passaggio 5.3.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2)$

Passaggio 5.3.3.3.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2)$

Passaggio 5.3.4

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 5.3.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})$

Passaggio 5.3.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4 + 2 \cdot 2}{2})$

Passaggio 5.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4 + 4}{2})$

Passaggio 5.3.6.2

Somma $- 4$ e $4$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x + 0}{2})$

Passaggio 5.3.6.3

Somma $x$ e $0$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Passaggio 5.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Passaggio 5.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ è l'inverso di $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$