Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- x^{3} + 8}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- x^{3} + 8}$ è indefinita.

$x = 2$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 4$

$m = 3$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 5.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1.1.1

Riscrivi $- x^{3}$ come ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{{(- x)}^{3} + 8}$

Passaggio 5.1.1.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{{(- x)}^{3} + 2^{3}}$

Passaggio 5.1.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = - x$ e $b = 2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Passaggio 5.1.1.4

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1.4.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Passaggio 5.1.1.4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (1 x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Passaggio 5.1.1.4.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Passaggio 5.1.1.4.4

Moltiplica $- - x$ .

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Passaggio 5.1.1.4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 1 x \cdot 2 + 2^{2})}$

Passaggio 5.1.1.4.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

Passaggio 5.1.1.4.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}$

Passaggio 5.1.1.4.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 5.1.2.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- (x) + 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Passaggio 5.1.2.2

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- (x) - 1 (- 2)) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Passaggio 5.1.2.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Passaggio 5.1.2.4

Riscrivi i negativi.

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Passaggio 5.1.2.4.1

Riscrivi $- (x - 2)$ come $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- 1 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Passaggio 5.1.2.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Passaggio 5.2

Espandi $- (3 x^{4} - 2 x + 1)$ .

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Passaggio 5.2.1

Nega $3 x^{4} - 2 x + 1$ .

$\frac{- (3 x^{4} - 2 x + 1)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- (3 x^{4} - 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- (3 x^{4}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Passaggio 5.2.4

Rimuovi le parentesi.

$\frac{- 1 \cdot (3 x^{4}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Passaggio 5.2.5

Rimuovi le parentesi.

$\frac{- 1 \cdot (3 x^{4}) + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Passaggio 5.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Passaggio 5.3

Espandi $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

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Passaggio 5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x (x^{2} + 2 x + 4) - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

Passaggio 5.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x (x^{2} + 2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

Passaggio 5.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

Passaggio 5.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x) - 2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.6

Rimuovi le parentesi.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.7

Riordina $x$ e $2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.8

Riordina $x$ e $4$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.9

Rimuovi le parentesi.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.10

Moltiplica $2$ per $x$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.12

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.13

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.14

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.16

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{1 + 1} + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.17

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.18

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.19

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8}$

Passaggio 5.3.20

Sposta $4 x$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x - 4 x - 8}$

Passaggio 5.3.21

Sottrai $2 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 0 + 4 x - 4 x - 8}$

Passaggio 5.3.22

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 4 x - 4 x - 8}$

Passaggio 5.3.23

Sottrai $4 x$ da $4 x$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 0 - 8}$

Passaggio 5.3.24

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} - 8}$

Passaggio 5.4

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Passaggio 5.5

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{3}$ .

$3 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Passaggio 5.6

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$3 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$3 x^{4}$

$0$

$24 x$

Passaggio 5.7

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x^{4} + 0 + 0 + 24 x$

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$

Passaggio 5.8

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$
													-	$22 x$

Passaggio 5.9

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$
													-	$22 x$	-	$1$

Passaggio 5.10

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$- 3 x + \frac{- 22 x - 1}{x^{3} - 8}$

Passaggio 5.11

Dividi la soluzione in porzione polinomiale e resto.

$- 3 x + \frac{22 x + 1}{- x^{3} + 8}$

Passaggio 5.12

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = - 3 x$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 2$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = - 3 x$

Passaggio 7