Precalcolo Esempi

vertices at $(6, 0)$ , $(- 6, 0)$ ; foci at $(8, 0)$ , $(- 8, 0)$

Passaggio 1

Trova il centro $(h, k)$ calcolando il punto medio dei vertici dati.

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Passaggio 1.1

Usa la formula del punto medio per trovare il punto medio del segmento lineare.

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Passaggio 1.2

Sostituisci i valori a $(x_{1}, y_{1})$ e $(x_{2}, y_{2})$ .

$(\frac{- 6 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $- 6 + 6$ e $2$ .

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Passaggio 1.3.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$(\frac{2 \cdot - 3 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

Passaggio 1.3.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$(\frac{2 \cdot - 3 + 2 \cdot 3}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

Passaggio 1.3.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 3 + 2 \cdot 3$ .

$(\frac{2 \cdot (- 3 + 3)}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

Passaggio 1.3.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$(\frac{2 \cdot (- 3 + 3)}{2 (1)}, \frac{0 + 0}{2})$

Passaggio 1.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$(\frac{2 \cdot (- 3 + 3)}{2 \cdot 1}, \frac{0 + 0}{2})$

Passaggio 1.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$(\frac{- 3 + 3}{1}, \frac{0 + 0}{2})$

Passaggio 1.3.4.4

Dividi $- 3 + 3$ per $1$ .

$(- 3 + 3, \frac{0 + 0}{2})$

Passaggio 1.4

Somma $- 3$ e $3$ .

$(0, \frac{0 + 0}{2})$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $0 + 0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$(0, \frac{2 (0) + 0}{2})$

Passaggio 1.5.2

Scomponi $2$ da $0$ .

$(0, \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2})$

Passaggio 1.5.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 0 + 2 \cdot 0$ .

$(0, \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2})$

Passaggio 1.5.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$(0, \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (1)})$

Passaggio 1.5.4.2

Elimina il fattore comune.

$(0, \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 \cdot 1})$

Passaggio 1.5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$(0, \frac{0 + 0}{1})$

Passaggio 1.5.4.4

Dividi $0 + 0$ per $1$ .

$(0, 0 + 0)$

Passaggio 1.6

Somma $0$ e $0$ .

$(0, 0)$

Passaggio 2

Rappresenta graficamente il centro, i fuochi e i vertici dati. Poiché i punti giacciono orizzontalmente, l'iperbole si apre a sinistra e a destra e la formula dell'iperbole sarà $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

Passaggio 3

Trova $a$ calcolando la distanza tra un vertice e il punto centrale.

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Passaggio 3.1

Usa la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

$a = \sqrt{{((- 6) - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Sottrai $0$ da $- 6$ .

$a = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{36 + {(0 - 0)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $0$ da $0$ .

$a = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$a = \sqrt{36 + 0}$

Passaggio 3.3.5

Somma $36$ e $0$ .

$a = \sqrt{36}$

Passaggio 3.3.6

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$a = \sqrt{6^{2}}$

Passaggio 3.3.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$a = 6$

Passaggio 4

Trova $c$ calcolando la distanza tra un fuoco e il punto centrale.

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Passaggio 4.1

Usa la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

$c = \sqrt{{((- 8) - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $0$ da $- 8$ .

$c = \sqrt{{(- 8)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{64 + {(0 - 0)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Sottrai $0$ da $0$ .

$c = \sqrt{64 + 0^{2}}$

Passaggio 4.3.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$c = \sqrt{64 + 0}$

Passaggio 4.3.5

Somma $64$ e $0$ .

$c = \sqrt{64}$

Passaggio 4.3.6

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$c = \sqrt{8^{2}}$

Passaggio 4.3.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$c = 8$

Passaggio 5

Inserisci i valori di $a$ e $c$ in $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ e risolvi per $b^{2}$ .

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Passaggio 5.1

Inserisci $8$ al posto di $c$ e $6$ al posto di $a$ .

$8^{2} = 6^{2} + b^{2}$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'equazione come $6^{2} + b^{2} = 8^{2}$ .

$6^{2} + b^{2} = 8^{2}$

Passaggio 5.3

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$36 + b^{2} = 8^{2}$

Passaggio 5.4

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$36 + b^{2} = 64$

Passaggio 5.5

Sposta tutti i termini non contenenti $b^{2}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.5.1

Sottrai $36$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b^{2} = 64 - 36$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $36$ da $64$ .

$b^{2} = 28$

Passaggio 6

Sostituisci i valori trovati nella formula e semplifica.

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Passaggio 6.1

Sostituisci i valori trovati nella formula.

$\frac{{(x + 0)}^{2}}{6^{2}} - \frac{{(y + 0)}^{2}}{28} = 1$

Passaggio 6.2

Combina i termini opposti in $\frac{{(x + 0)}^{2}}{6^{2}} - \frac{{(y + 0)}^{2}}{28}$ .

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Passaggio 6.2.1

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{x^{2}}{6^{2}} - \frac{{(y + 0)}^{2}}{28} = 1$

Passaggio 6.2.2

Somma $y$ e $0$ .

$\frac{x^{2}}{6^{2}} - \frac{y^{2}}{28} = 1$

Passaggio 6.3

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{28} = 1$

Passaggio 7