Precalcolo Esempi

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ è indefinita.

$x = - 2, x = 2$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 2$ da sinistra e $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 2$ da destra, allora $x = - 2$ è un asintoto verticale.

$x = - 2$

Passaggio 3

Poiché $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $2$ da sinistra e $\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $2$ da destra, allora $x = 2$ è un asintoto verticale.

$x = 2$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - 2, 2$

Passaggio 5

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 7

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 8

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 8.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3} + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} x + x^{2}}{x^{2} - 4}$

Passaggio 8.1.1.2

Moltiplica per $1$ .

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}{x^{2} - 4}$

Passaggio 8.1.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x + x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} (x + 1)}{x^{2} - 4}$

Passaggio 8.1.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.1.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x + 1)}{x^{2} - 2^{2}}$

Passaggio 8.1.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{x^{2} (x + 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 8.2

Espandi $x^{2} (x + 1)$ .

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Passaggio 8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 8.2.2

Riordina $x^{2}$ e $1$ .

$\frac{x^{2} x + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 8.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} x + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 8.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2 + 1} + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 8.2.5

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 1 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 8.2.6

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 8.3

Espandi $(x + 2) (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x (x - 2) + 2 (x - 2)}$

Passaggio 8.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}$

Passaggio 8.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Passaggio 8.3.4

Riordina $x$ e $- 2$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Passaggio 8.3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Passaggio 8.3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Passaggio 8.3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{1 + 1} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Passaggio 8.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Passaggio 8.3.9

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2 x - 4}$

Passaggio 8.3.10

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} + 0 - 4}$

Passaggio 8.3.11

Sottrai $4$ da $0$ .

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}$

Passaggio 8.4

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 8.5

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 8.6

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Passaggio 8.7

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 0 - 4 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Passaggio 8.8

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

Passaggio 8.9

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

Passaggio 8.10

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

Passaggio 8.11

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

$x^{2}$

$0$

$4$

Passaggio 8.12

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + 0 - 4$

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

$x^{2}$

$0$

$4$

Passaggio 8.13

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

$x^{2}$

$0$

$4$

$4 x$

$4$

Passaggio 8.14

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x + 1 + \frac{4 x + 4}{x^{2} - 4}$

Passaggio 8.15

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x + 1$

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 2, 2$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x + 1$

Passaggio 10