Precalcolo Esempi

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ come un'equazione.

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ${(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[3]{y}}{4}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{7}}{4^{7}}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{y}}^{7}$ come $\sqrt[3]{y^{7}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{7}}}{4^{7}}$

Passaggio 3.1.2.2

Riscrivi $y^{7}$ come ${(y^{2})}^{3} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Metti in evidenza $y^{6}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{6} y}}{4^{7}}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Riscrivi $y^{6}$ come ${(y^{2})}^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{{(y^{2})}^{3} y}}{4^{7}}$

Passaggio 3.1.2.3

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{4^{7}}$

Passaggio 3.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $7$ .

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384}$

Passaggio 3.2

Riscrivi l'equazione come $\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$ .

$\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$

Passaggio 3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{y}$ come $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = x$

Passaggio 3.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $16384$ .

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

Passaggio 3.5

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica $16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Elimina il fattore comune di $16384$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

Passaggio 3.5.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} y^{\frac{1}{3}} = 16384 x$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{2 + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Passaggio 3.5.1.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Passaggio 3.5.1.2.3

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$y^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Passaggio 3.5.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} = 16384 x$

Passaggio 3.5.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.2.5.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y^{\frac{6 + 1}{3}} = 16384 x$

Passaggio 3.5.1.2.5.2

Somma $6$ e $1$ .

$y^{\frac{7}{3}} = 16384 x$

Passaggio 3.6

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{3}{7}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Semplifica ${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 3.7.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 3.7.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 3.7.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 3.7.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 3.7.1.1.2

Semplifica.

$y = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 3.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Semplifica ${(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $16384 x$ .

$y = 16384^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 3.7.2.1.1.2

Riscrivi $16384$ come $4^{7}$ .

$y = {(4^{7})}^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 3.7.2.1.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 3.7.2.1.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 3.7.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 4^{3} x^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 3.7.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$y = 64 x^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ è l'inverso di $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 5.2.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{3}$

Passaggio 5.2.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[3]{x}}{4}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{4^{3}})$

Passaggio 5.2.4

Riscrivi ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}})$

Passaggio 5.2.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}})$

Passaggio 5.2.4.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

Passaggio 5.2.4.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

Passaggio 5.2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

Passaggio 5.2.4.5

Semplifica.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

Passaggio 5.2.5

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

Passaggio 5.2.6

Elimina il fattore comune di $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

Passaggio 5.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (64 x^{\frac{3}{7}})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{64 x^{\frac{3}{7}}}}{4})}^{7}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riscrivi $64 x^{\frac{3}{7}}$ come ${(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}}}{4})}^{7}$

Passaggio 5.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

Passaggio 5.3.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Dividi $x^{\frac{1}{7}}$ per $1$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$

Passaggio 5.3.4.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Passaggio 5.3.4.2.2.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Passaggio 5.3.4.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ è l'inverso di $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$