Precalcolo Esempi

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y - 400 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $400$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $- 25 x^{2} + 200 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 25$

$b = 200$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{200}{2 \cdot - 25}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $200$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $200$ .

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 (- 25)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{100}{- 25}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $100$ e $- 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $25$ da $100$ .

$d = \frac{25 (4)}{- 25}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Passaggio 1.2.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$d = - 4$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{200^{2}}{4 \cdot - 25}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $200$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{40000}{4 \cdot - 25}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 25$ .

$e = 0 - \frac{40000}{- 100}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $40000$ per $- 100$ .

$e = 0 - - 400$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 400$ .

$e = 0 + 400$

Passaggio 1.2.4.2.2

Somma $0$ e $400$ .

$e = 400$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ a $- 25 x^{2} + 200 x$ nell'equazione $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400 + 9 y^{2} - 90 y = 400$

Passaggio 1.4

Sposta $400$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $400$ a entrambi i lati.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 y^{2} - 90 y = 400 - 400$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $9 y^{2} - 90 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = - 90$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 90}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 90$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 90$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 (9)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 45}{9}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 45$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $9$ da $- 45$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.2.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 (1)}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 5}{1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.4

Dividi $- 5$ per $1$ .

$d = - 5$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 90)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 90$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{8100}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$e = 0 - \frac{8100}{36}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $8100$ per $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 225$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $225$ .

$e = 0 - 225$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai $225$ da $0$ .

$e = - 225$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ .

$9 {(y - 5)}^{2} - 225$

Passaggio 1.6

Sostituisci $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ a $9 y^{2} - 90 y$ nell'equazione $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} - 225 = 400 - 400$

Passaggio 1.7

Sposta $- 225$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $225$ a entrambi i lati.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 400 - 400 + 225$

Passaggio 1.8

Semplifica $400 - 400 + 225$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sottrai $400$ da $400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 0 + 225$

Passaggio 1.8.2

Somma $0$ e $225$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 225$

Passaggio 1.9

Dividi per $225$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$- \frac{25 {(x - 4)}^{2}}{225} + \frac{9 {(y - 5)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(y - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{9} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 5$

$b = 3$

$k = 5$

$h = 4$

Passaggio 4

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Passaggio 5

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Passaggio 5.2

Semplifica $\frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

Passaggio 5.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Passaggio 5.2.1.3

$\frac{5}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $\frac{5}{3} \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.1

$\frac{5}{3}$ e $- 4$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot - 4}{3} + 5$

Passaggio 5.2.1.4.2

Moltiplica $5$ per $- 4$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20}{3} + 5$

Passaggio 5.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5$

Passaggio 5.2.2

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 5.2.3

$5$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Passaggio 5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 5 \cdot 3}{3}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Moltiplica $5$ per $3$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 15}{3}$

Passaggio 5.2.5.2

Somma $- 20$ e $15$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Passaggio 5.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$

Passaggio 6

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Passaggio 6.2

Semplifica $- \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

Passaggio 6.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Passaggio 6.2.1.3

$x$ e $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- \frac{5}{3} \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + 4 (\frac{5}{3}) + 5$

Passaggio 6.2.1.4.2

$4$ e $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{4 \cdot 5}{3} + 5$

Passaggio 6.2.1.4.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{20}{3} + 5$

Passaggio 6.2.1.5

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5$

Passaggio 6.2.2

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 6.2.3

$5$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Passaggio 6.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 5 \cdot 3}{3}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Moltiplica $5$ per $3$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 15}{3}$

Passaggio 6.2.5.2

Somma $20$ e $15$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Passaggio 7

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Passaggio 8

Gli asintoti sono $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$ e $y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$ .

Asintoti: $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Passaggio 9