Precalcolo Esempi

$\sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $x$ da $2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $x$ da $2 x^{3}$ .

$x (2 x^{2}) - 5 x^{2} - 3 x = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $x$ da $- 5 x^{2}$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) - 3 x = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $x$ da $- 3 x$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $x$ da $x (2 x^{2}) + x (- 5 x)$ .

$x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $x$ da $x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3$ .

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e la cui somma è $b = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 x$ .

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 5$ come $1$ più $- 6$ .

$x (2 x^{2} + (1 - 6) x - 3) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x (2 x^{2} + x - 6 x - 3) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$x ((2 x^{2} + x) - 6 x - 3) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$x ((2 x + 1) (x - 3)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (2 x + 1) (x - 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $2 x + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.6.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (2 x + 1) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{1}{2}, 3$

Passaggio 2.8

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 2.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 2.9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 2.9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 \geq 0$

Passaggio 2.9.1.3

Il lato sinistro di $- 90$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 2.9.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 0.25$

Passaggio 2.9.2.2

Sostituisci $x$ con $- 0.25$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(- 0.25)}^{3} - 5 {(- 0.25)}^{2} - 3 \cdot - 0.25 \geq 0$

Passaggio 2.9.2.3

Il lato sinistro di $0.40625$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.9.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 2.9.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 \geq 0$

Passaggio 2.9.3.3

Il lato sinistro di $- 10$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 2.9.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 2.9.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(6)}^{3} - 5 {(6)}^{2} - 3 \cdot 6 \geq 0$

Passaggio 2.9.4.3

Il lato sinistro di $234$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.9.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Vero

$0 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Vero

$0 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

Passaggio 2.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- \frac{1}{2} \leq x \leq 0$ o $x \geq 3$

Passaggio 3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- \frac{1}{2}, 0] \cup [3, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | - \frac{1}{2} \leq x \leq 0, x \geq 3}$

Passaggio 4