Precalcolo Esempi

$f (x) = 5 \sqrt{x}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 5 \sqrt{x}$ come un'equazione.

$y = 5 \sqrt{x}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 5 \sqrt{y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $5 \sqrt{y} = x$ .

$5 \sqrt{y} = x$

Passaggio 3.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 \sqrt{y} = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 \sqrt{y} = x$ .

$\frac{5 \sqrt{y}}{5} = \frac{x}{5}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sqrt{y}}{5} = \frac{x}{5}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $\sqrt{y}$ per $1$ .

$\sqrt{y} = \frac{x}{5}$

Passaggio 3.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y}}^{2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Passaggio 3.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Semplifica.

$y = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Semplifica ${(\frac{x}{5})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{5}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5^{2}}$

Passaggio 3.4.3.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{25}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$ è l'inverso di $f (x) = 5 \sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (5 \sqrt{x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{{(5 \sqrt{x})}^{2}}{25}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{5^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{25}$

Passaggio 5.2.3.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 {\sqrt{x}}^{2}}{25}$

Passaggio 5.2.3.3

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{25}$

Passaggio 5.2.3.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{25}$

Passaggio 5.2.3.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{25}$

Passaggio 5.2.3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{25}$

Passaggio 5.2.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

Passaggio 5.2.3.3.5

Semplifica.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

Passaggio 5.2.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{x^{2}}{25})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{25}}$

Passaggio 5.3.3

Rimuovi le parentesi.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{25}}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{5^{2}}}$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi $\frac{x^{2}}{5^{2}}$ come ${(\frac{x}{5})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 (\frac{x}{5})$

Passaggio 5.3.7

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 5.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 (\frac{x}{5})$

Passaggio 5.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$ è l'inverso di $f (x) = 5 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$