Precalcolo Esempi

$\frac{y^{2}}{9} - {(x + 4)}^{2} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{y^{2}}{9} - {(x + 4)}^{2} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 3$

$b = 1$

$k = 0$

$h = - 4$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(- 4, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 + {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{9 + 1}$

Passaggio 5.3.3

Somma $9$ e $1$ .

$\sqrt{10}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 4, 3)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 4, - 3)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm a)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(- 4, 3), (- 4, - 3)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 4, \sqrt{10})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 4, - \sqrt{10})$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(- 4, \sqrt{10}), (- 4, - \sqrt{10})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(1)}^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 1^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\sqrt{9 + 1}}{3}$

Passaggio 8.3.3

Somma $9$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{10}}{3}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{10}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{\sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{10}}$ per $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{10}}$ per $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{10}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{10}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Passaggio 9.3.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{2}$ come $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{10}$ come $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{10}}{10^{1}}$

Passaggio 9.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{10}}{10}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm 3 \cdot (x - (- 4)) + 0$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 3 \cdot (x - (- 4)) + 0$

Passaggio 11.2

Semplifica $3 \cdot (x - (- 4)) + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Somma $3 \cdot (x - (- 4))$ e $0$ .

$y = 3 \cdot (x - (- 4))$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = 3 \cdot (x + 4)$

Passaggio 11.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = 3 x + 3 \cdot 4$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$y = 3 x + 12$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - 3 \cdot (x - (- 4)) + 0$

Passaggio 12.2

Semplifica $- 3 \cdot (x - (- 4)) + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Somma $- 3 \cdot (x - (- 4))$ e $0$ .

$y = - 3 \cdot (x - (- 4))$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = - 3 \cdot (x + 4)$

Passaggio 12.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - 3 x - 3 \cdot 4$

Passaggio 12.2.3

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$y = - 3 x - 12$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = 3 x + 12, y = - 3 x - 12$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(- 4, 0)$

Vertici: $(- 4, 3), (- 4, - 3)$

Fuochi: $(- 4, \sqrt{10}), (- 4, - \sqrt{10})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{10}}{3}$

Asse focale: $\frac{\sqrt{10}}{10}$

Asintoti: $y = 3 x + 12$ , $y = - 3 x - 12$

Passaggio 15