Precalcolo Esempi

$f (x) = 8 x^{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 8 x^{3}$ come un'equazione.

$y = 8 x^{3}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 8 y^{3}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $8 y^{3} = x$ .

$8 y^{3} = x$

Passaggio 3.2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 y^{3} = x$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 y^{3} = x$ .

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $y^{3}$ per $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{8}$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8}}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{x}{8}}$ .

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi $\frac{x}{8}$ come ${(\frac{1}{2})}^{3} x$ .

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Passaggio 3.4.1.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{3}$ su $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{8}}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{3}$ su $8$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}}$

Passaggio 3.4.1.3

Riordina la frazione $\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}$ .

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} x}$

Passaggio 3.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x}$

Passaggio 3.4.3

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt[3]{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ è l'inverso di $f (x) = 8 x^{3}$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (8 x^{3})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.3.1

Riscrivi $8 x^{3}$ come ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Passaggio 5.2.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{3}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{3}$

Passaggio 5.3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{2^{3}})$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ come $x$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Passaggio 5.3.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Passaggio 5.3.4.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Passaggio 5.3.4.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Passaggio 5.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

Passaggio 5.3.4.5

Semplifica.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

Passaggio 5.3.5

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 5.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

Passaggio 5.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ è l'inverso di $f (x) = 8 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$