Precalcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x} + 10$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \sqrt{x} + 10$ come un'equazione.

$y = \sqrt{x} + 10$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{y} + 10$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{y} + 10 = x$ .

$\sqrt{y} + 10 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{y} = x - 10$

Passaggio 3.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - 10)}^{2}$

Passaggio 3.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 10)}^{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 10)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 10)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(x - 10)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Semplifica.

$y = {(x - 10)}^{2}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Semplifica ${(x - 10)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Riscrivi ${(x - 10)}^{2}$ come $(x - 10) (x - 10)$ .

$y = (x - 10) (x - 10)$

Passaggio 3.4.3.1.2

Espandi $(x - 10) (x - 10)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = x (x - 10) - 10 (x - 10)$

Passaggio 3.4.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10)$

Passaggio 3.4.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Passaggio 3.4.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.2

Sposta $- 10$ alla sinistra di $x$ .

$y = x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.3

Moltiplica $- 10$ per $- 10$ .

$y = x^{2} - 10 x - 10 x + 100$

Passaggio 3.4.3.1.3.2

Sottrai $10 x$ da $- 10 x$ .

$y = x^{2} - 20 x + 100$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{x} + 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt{x} + 10)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {(\sqrt{x} + 10)}^{2} - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Riscrivi ${(\sqrt{x} + 10)}^{2}$ come $(\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = (\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Passaggio 5.2.3.2

Espandi $(\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} (\sqrt{x} + 10) + 10 (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Passaggio 5.2.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Passaggio 5.2.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Passaggio 5.2.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1.1

Moltiplica $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1.1.1

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Passaggio 5.2.3.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Passaggio 5.2.3.3.1.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Passaggio 5.2.3.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Passaggio 5.2.3.3.1.2

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Passaggio 5.2.3.3.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Passaggio 5.2.3.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Passaggio 5.2.3.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Passaggio 5.2.3.3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Passaggio 5.2.3.3.1.2.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Passaggio 5.2.3.3.1.3

Sposta $10$ alla sinistra di $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 10 \cdot \sqrt{x} + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Passaggio 5.2.3.3.1.4

Moltiplica $10$ per $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 10 \sqrt{x} + 10 \sqrt{x} + 100 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Passaggio 5.2.3.3.2

Somma $10 \sqrt{x}$ e $10 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Passaggio 5.2.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 20 \cdot 10 + 100$

Passaggio 5.2.3.5

Moltiplica $- 20$ per $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 200 + 100$

Passaggio 5.2.4

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Combina i termini opposti in $x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 200 + 100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Sottrai $20 \sqrt{x}$ da $20 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 0 + 100 - 200 + 100$

Passaggio 5.2.4.1.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 100 - 200 + 100$

Passaggio 5.2.4.2

Sottrai $200$ da $100$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x - 100 + 100$

Passaggio 5.2.4.3

Combina i termini opposti in $x - 100 + 100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Somma $- 100$ e $100$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.3.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (x^{2} - 20 x + 100)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 100} + 10$

Passaggio 5.3.3

Rimuovi le parentesi.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 100} + 10$

Passaggio 5.3.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.1

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 10^{2}} + 10$

Passaggio 5.3.4.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$20 x = 2 \cdot x \cdot 10$

Passaggio 5.3.4.1.3

Riscrivi il polinomio.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^{2}} + 10$

Passaggio 5.3.4.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 10$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{{(x - 10)}^{2}} + 10$

Passaggio 5.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x - 10 + 10$

Passaggio 5.3.5

Combina i termini opposti in $x - 10 + 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Somma $- 10$ e $10$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x + 0$

Passaggio 5.3.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{x} + 10$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$