Precalcolo Esempi

$\frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 2

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 3

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 3.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2

La risposta finale è $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 4

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{1}{x^{2}})}{h}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi $\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ come ${(\frac{1}{x + h})}^{2}$ .

$\frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Passaggio 5.1.3

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(\frac{1}{x})}^{2}$ .

$\frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}}{h}$

Passaggio 5.1.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{1}{x + h}$ e $b = \frac{1}{x}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Passaggio 5.1.5

Semplifica.

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Passaggio 5.1.5.1

Per scrivere $\frac{1}{x + h}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Passaggio 5.1.5.2

Per scrivere $\frac{1}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Passaggio 5.1.5.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + h) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.1.5.3.1

Moltiplica $\frac{1}{x + h}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Passaggio 5.1.5.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Passaggio 5.1.5.3.3

Riordina i fattori di $(x + h) x$ .

$\frac{(\frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Passaggio 5.1.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{x + x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Passaggio 5.1.5.5

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Passaggio 5.1.5.6

Per scrivere $\frac{1}{x + h}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x})}{h}$

Passaggio 5.1.5.7

Per scrivere $- \frac{1}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Passaggio 5.1.5.8

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + h) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.1.5.8.1

Moltiplica $\frac{1}{x + h}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Passaggio 5.1.5.8.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Passaggio 5.1.5.8.3

Riordina i fattori di $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Passaggio 5.1.5.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 5.1.5.10

Riscrivi $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 5.1.5.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 5.1.5.10.2

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 5.1.5.10.3

Sottrai $h$ da $0$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 5.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot - 1 \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 5.1.7

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 5.1.7.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{- (\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

Passaggio 5.1.7.2

Moltiplica $\frac{2 x + h}{x (x + h)}$ per $\frac{h}{x (x + h)}$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x (x + h) (x (x + h))}}{h}$

Passaggio 5.1.7.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x (x + h) (x + h)}}{h}$

Passaggio 5.1.7.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x^{1} (x + h) (x + h)}}{h}$

Passaggio 5.1.7.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1 + 1} (x + h) (x + h)}}{h}$

Passaggio 5.1.7.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} (x + h) (x + h)}}{h}$

Passaggio 5.1.7.7

Eleva $x + h$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} (x + h))}}{h}$

Passaggio 5.1.7.8

Eleva $x + h$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} {(x + h)}^{1})}}{h}$

Passaggio 5.1.7.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{1 + 1}}}{h}$

Passaggio 5.1.7.10

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Passaggio 5.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $h$ da $- (2 x + h) h$ .

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Passaggio 6