Precalcolo Esempi

$f (x) = 8 x^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 8 x^{7}$ come un'equazione.

$y = 8 x^{7}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 8 y^{7}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $8 y^{7} = x$ .

$8 y^{7} = x$

Passaggio 3.2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 y^{7} = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 y^{7} = x$ .

$\frac{8 y^{7}}{8} = \frac{x}{8}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 y^{7}}{8} = \frac{x}{8}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $y^{7}$ per $1$ .

$y^{7} = \frac{x}{8}$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{8}}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\sqrt[7]{\frac{x}{8}}$ come $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ è l'inverso di $f (x) = 8 x^{7}$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (8 x^{7})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \frac{\sqrt[7]{8 x^{7}}}{\sqrt[7]{8}}$

Passaggio 5.2.3

Combina $\sqrt[7]{8 x^{7}}$ e $\sqrt[7]{8}$ in un singolo radicale.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Passaggio 5.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.4.1

Riduci l'espressione $\frac{8 x^{7}}{8}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Passaggio 5.2.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

Passaggio 5.2.4.2

Dividi $x^{7}$ per $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Passaggio 5.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}})}^{7}$

Passaggio 5.3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ come $x$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[7]{x}$ come $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Passaggio 5.3.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Passaggio 5.3.4.3

$\frac{1}{7}$ e $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Passaggio 5.3.4.4

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Passaggio 5.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Passaggio 5.3.4.5

Semplifica.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi ${\sqrt[7]{8}}^{7}$ come $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[7]{8}$ come $8^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{{(8^{\frac{1}{7}})}^{7}})$

Passaggio 5.3.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8^{\frac{1}{7} \cdot 7}})$

Passaggio 5.3.5.3

$\frac{1}{7}$ e $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8^{\frac{7}{7}}})$

Passaggio 5.3.5.4

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8^{\frac{7}{7}}})$

Passaggio 5.3.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8})$

Passaggio 5.3.5.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8})$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 5.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8})$

Passaggio 5.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ è l'inverso di $f (x) = 8 x^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$