Precalcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{\frac{1}{3}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 4 x^{\frac{1}{3}}$ come un'equazione.

$y = 4 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 4 y^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $4 y^{\frac{1}{3}} = x$ .

$4 y^{\frac{1}{3}} = x$

Passaggio 3.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y^{\frac{1}{3}} = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y^{\frac{1}{3}} = x$ .

$\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{x}{4}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{x}{4}$

Passaggio 3.2.2.2

Dividi $y^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{x}{4}$

Passaggio 3.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Passaggio 3.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Passaggio 3.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Passaggio 3.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Passaggio 3.4.1.1.2

Semplifica.

$y = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ${(\frac{x}{4})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{4}$ .

$y = \frac{x^{3}}{4^{3}}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{64}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$ è l'inverso di $f (x) = 4 x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{{(4 x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{64}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Applica la regola del prodotto a $4 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{4^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{64}$

Passaggio 5.2.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{64 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{64}$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{64 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{64}$

Passaggio 5.2.3.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{64 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{64}$

Passaggio 5.2.3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{64 x}{64}$

Passaggio 5.2.3.4

Semplifica.

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{64 x}{64}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{64 x}{64}$

Passaggio 5.2.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{x^{3}}{64})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 {(\frac{x^{3}}{64})}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{x^{3}}{64}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{64^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{64^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 5.3.4.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{64^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 5.3.4.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{64^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{64^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 5.3.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Riscrivi $64$ come $4^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{{(4^{3})}^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 5.3.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4^{3 (\frac{1}{3})}})$

Passaggio 5.3.5.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4^{3 (\frac{1}{3})}})$

Passaggio 5.3.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4})$

Passaggio 5.3.5.4

Calcola l'esponente.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4})$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4})$

Passaggio 5.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$ è l'inverso di $f (x) = 4 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$