Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{\ln (3 - x)}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Passaggio 1

Imposta l'argomento in $\ln (3 - x)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$3 - x > 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x > - 3$

Passaggio 2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > - 3$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$x < 3$

Passaggio 3

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{2} - 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} - 1 \geq 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Aggiungi $1$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} \geq 1$

Passaggio 4.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{1}$

Passaggio 4.3

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \geq \sqrt{1}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$| x | \geq 1$

Passaggio 4.4

Scrivi $| x | \geq 1$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 4.4.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \geq 1$

Passaggio 4.4.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 4.4.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \geq 1$

Passaggio 4.4.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \geq 1 & x \geq 0 \\ - x \geq 1 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 4.5

Trova l'intersezione di $x \geq 1$ e $x \geq 0$ .

$x \geq 1$

Passaggio 4.6

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 1$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{1}{- 1}$

Passaggio 4.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{1}{- 1}$

Passaggio 4.6.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{1}{- 1}$

Passaggio 4.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$x \leq - 1$

Passaggio 4.7

Trova l'unione delle soluzioni.

$x \leq - 1$ o $x \geq 1$

Passaggio 5

Imposta il denominatore in $\frac{\ln (3 - x)}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{x^{2} - 1} = 0$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 1}$ come ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Semplifica.

$x^{2} - 1 = 0^{2}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 1$

Passaggio 6.3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 6.3.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 6.3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 6.3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 6.3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 7

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1) \cup (1, 3)$

Notazione intensiva:

${x | x < - 1, 1 < x < 3}$

Passaggio 8