Precalcolo Esempi

$\frac{y^{2} - 16}{y^{2} - 10 y + 25} \div \frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10}$

Passaggio 1

Imposta il denominatore in $\frac{y^{2} - 16}{y^{2} - 10 y + 25}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$y^{2} - 10 y + 25 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$y^{2} - 10 y + 5^{2} = 0$

Passaggio 2.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$10 y = 2 \cdot y \cdot 5$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi il polinomio.

$y^{2} - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Passaggio 2.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = y$ e $b = 5$ .

${(y - 5)}^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Poni $y - 5$ uguale a $0$ .

$y - 5 = 0$

Passaggio 2.3

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 5$

Passaggio 3

Imposta il denominatore in $\frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$y^{2} - 3 y - 10 = 0$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.1

Scomponi $y^{2} - 3 y - 10$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 10$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 5, 2$

Passaggio 4.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(y - 5) (y + 2) = 0$

Passaggio 4.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y - 5 = 0$

$y + 2 = 0$

Passaggio 4.3

Imposta $y - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.3.1

Imposta $y - 5$ uguale a $0$ .

$y - 5 = 0$

Passaggio 4.3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 5$

Passaggio 4.4

Imposta $y + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.4.1

Imposta $y + 2$ uguale a $0$ .

$y + 2 = 0$

Passaggio 4.4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 2$

Passaggio 4.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(y - 5) (y + 2) = 0$ vera.

$y = 5, - 2$

Passaggio 5

Imposta il denominatore in $\frac{y^{2} - 16}{y^{2} - 10 y + 25} \div \frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10} = 0$

Passaggio 6

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 6.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 y - 12 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi l'equazione per $y$ .

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Passaggio 6.2.1

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 y = 12$

Passaggio 6.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = 12$ e semplifica.

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Passaggio 6.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = 12$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{12}{3}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{12}{3}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{12}{3}$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.2.2.3.1

Dividi $12$ per $3$ .

$y = 4$

Passaggio 7

Il dominio è formato da tutti i valori di $y$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 4) \cup (4, 5) \cup (5, \infty)$

Notazione intensiva:

${y | y \neq - 2, 4, 5}$

Passaggio 8