Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{4}{4 - \sqrt{25 - x^{2}}}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{25 - x^{2}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$25 - x^{2} \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai $25$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} \geq - 25$

Passaggio 2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 25$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 25$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Dividi $- 25$ per $- 1$ .

$x^{2} \leq 25$

Passaggio 2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{25}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq \sqrt{25}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica $\sqrt{25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq | 5 |$

Passaggio 2.4.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $5$ è $5$ .

$| x | \leq 5$

Passaggio 2.5

Scrivi $| x | \leq 5$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 2.5.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \leq 5$

Passaggio 2.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 2.5.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \leq 5$

Passaggio 2.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \leq 5 & x \geq 0 \\ - x \leq 5 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 2.6

Trova l'intersezione di $x \leq 5$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 5$

Passaggio 2.7

Risolvi $- x \leq 5$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 5$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{5}{- 1}$

Passaggio 2.7.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{5}{- 1}$

Passaggio 2.7.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{5}{- 1}$

Passaggio 2.7.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.3.1

Dividi $5$ per $- 1$ .

$x \geq - 5$

Passaggio 2.7.2

Trova l'intersezione di $x \geq - 5$ e $x < 0$ .

$- 5 \leq x < 0$

Passaggio 2.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$- 5 \leq x \leq 5$

Passaggio 3

Imposta il denominatore in $\frac{4}{4 - \sqrt{25 - x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$4 - \sqrt{25 - x^{2}} = 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sqrt{25 - x^{2}} = - 4$

Passaggio 4.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(- \sqrt{25 - x^{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{25 - x^{2}}$ come ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ${(- {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 {({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica ${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ per $1$ .

${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(25 - x^{2})}^{1} = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Semplifica.

$25 - x^{2} = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$25 - x^{2} = 16$

Passaggio 4.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Sottrai $25$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = 16 - 25$

Passaggio 4.4.1.2

Sottrai $25$ da $16$ .

$- x^{2} = - 9$

Passaggio 4.4.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 9$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 4.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 4.4.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 4.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.3.1

Dividi $- 9$ per $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Passaggio 4.4.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{9}$

Passaggio 4.4.4

Semplifica $\pm \sqrt{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 4.4.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 3$

Passaggio 4.4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3$

Passaggio 4.4.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3$

Passaggio 4.4.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3, - 3$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 5, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, 5]$

Notazione intensiva:

${x | - 5 \leq x \leq 5, x \neq 3, - 3}$

Passaggio 6