Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{x}}}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 2

Imposta il radicando in $\sqrt{2 - \sqrt{x}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 - \sqrt{x} \geq 0$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- \sqrt{x} \geq - 2$

Passaggio 3.2

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${(- \sqrt{x})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ per $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 2)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 2)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} \geq {(- 2)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Semplifica.

$x \geq {(- 2)}^{2}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x \geq 4$

Passaggio 3.4

Trova il dominio di $2 - \sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 3.4.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 3.5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 3.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 3.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$2 - \sqrt{- 2} \geq 0$

Passaggio 3.6.1.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

Falso

Passaggio 3.6.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 3.6.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$2 - \sqrt{2} \geq 0$

Passaggio 3.6.2.3

Il lato sinistro di $0.58578643$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 3.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 3.6.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$2 - \sqrt{6} \geq 0$

Passaggio 3.6.3.3

Il lato sinistro di $- 0.44948974$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 3.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 3.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 \leq x \leq 4$

Passaggio 4

Imposta il denominatore in $\frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{x}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{2 - \sqrt{x}} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{2 - \sqrt{x}}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 - \sqrt{x}}$ come ${(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ${({(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 - \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 - \sqrt{x})}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Semplifica.

$2 - \sqrt{x} = 0^{2}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 - \sqrt{x} = 0$

Passaggio 5.3

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sqrt{x} = - 2$

Passaggio 5.4

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(- \sqrt{x})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 5.5

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Semplifica ${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 5.5.2.1.3

Moltiplica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ per $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 5.5.2.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 5.5.2.1.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 5.5.2.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 5.5.2.1.5

Semplifica.

$x = {(- 2)}^{2}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = 4$

Passaggio 6

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[0, 4)$

Notazione intensiva:

${x | 0 \leq x < 4}$

Passaggio 7