Precalcolo Esempi

$4 x^{2} + y^{2} - 36 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

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Passaggio 1.1

Somma $36$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} + y^{2} = 36$

Passaggio 1.2

Dividi per $36$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{4 x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Passaggio 1.3

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 6$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{36 - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 9}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\sqrt{36 - 9}$

Passaggio 5.3.4

Sottrai $9$ da $36$ .

$\sqrt{27}$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$\sqrt{9 (3)}$

Passaggio 5.3.5.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Passaggio 5.3.6

Estrai i termini dal radicale.

$3 \sqrt{3}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

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Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + 6)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(0, 6)$

Passaggio 6.4

Si può trovare il secondo vertice di un'ellissi sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (6))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(0, - 6)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 6)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + 3 \sqrt{3})$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(0, 3 \sqrt{3})$

Passaggio 7.4

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (3 \sqrt{3}))$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(0, - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(0, 3 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 3 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 3 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(3)}^{2}}}{6}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.3.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 3^{2}}}{6}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 9}}{6}$

Passaggio 8.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{\sqrt{36 - 9}}{6}$

Passaggio 8.3.1.4

Sottrai $9$ da $36$ .

$\frac{\sqrt{27}}{6}$

Passaggio 8.3.1.5

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{6}$

Passaggio 8.3.1.5.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{6}$

Passaggio 8.3.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{3 \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3})}{6}$

Passaggio 8.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 3 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 3 \sqrt{3})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 10