Precalcolo Esempi

$(\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}) \div (\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b})$

Passaggio 1

Imposta il denominatore in $\frac{a + b}{b}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$b = 0$

Passaggio 2

Imposta il denominatore in $\frac{a}{a + b}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$a + b = 0$

Passaggio 3

Sottrai $b$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a = - b$

Passaggio 4

Imposta il denominatore in $\frac{a + b}{a}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$a = 0$

Passaggio 5

Imposta il denominatore in $(\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}) \div (\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b})$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b} = 0$

Passaggio 6

Risolvi per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$a, a + b, 1$

Passaggio 6.1.2

Poiché $a, a + b, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono quattro passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per le parti numerica, variabile e variabile composta. Quindi, moltiplica tutto insieme.

I passaggi per trovare il minimo comune multiplo per $a, a + b, 1$ sono:

1. Trova il minimo comune multiplo della parte numerica $1, 1, 1$ .

2. Trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $a^{1}$

3. Trova il minimo comune multiplo per la parte variabile composta $a + b$ .

4. Moltiplica tutti i minimi comuni multipli tra loro.

Passaggio 6.1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 6.1.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 6.1.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 6.1.6

Il fattore di $a^{1}$ è $a$ stesso.

$a^{1} = a$

$a$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 6.1.7

Il minimo comune multiplo (mcm) di $a^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$a$

Passaggio 6.1.8

Il fattore di $a + b$ è $a + b$ stesso.

$(a + b) = a + b$

$(a + b)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 6.1.9

Il minimo comune multiplo di $a + b$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$a + b$

Passaggio 6.1.10

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$a (a + b)$

Passaggio 6.2

Moltiplica per $a (a + b)$ ciascun termine in $\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b} = 0$ per $a (a + b)$ .

$\frac{a + b}{a} (a (a + b)) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{a + b}{a} (a (a + b)) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$(a + b) (a + b) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Passaggio 6.2.2.1.2

Eleva $a + b$ alla potenza di $1$ .

${(a + b)}^{1} (a + b) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Passaggio 6.2.2.1.3

Eleva $a + b$ alla potenza di $1$ .

${(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1} - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Passaggio 6.2.2.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(a + b)}^{1 + 1} - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Passaggio 6.2.2.1.5

Somma $1$ e $1$ .

${(a + b)}^{2} - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Passaggio 6.2.2.1.6

Elimina il fattore comune di $a + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{b}{a + b}$ nel numeratore.

${(a + b)}^{2} + \frac{- b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Passaggio 6.2.2.1.6.2

Scomponi $a + b$ da $a (a + b)$ .

${(a + b)}^{2} + \frac{- b}{a + b} ((a + b) a) = 0 (a (a + b))$

Passaggio 6.2.2.1.6.3

Elimina il fattore comune.

${(a + b)}^{2} + \frac{- b}{a + b} ((a + b) a) = 0 (a (a + b))$

Passaggio 6.2.2.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

${(a + b)}^{2} - b a = 0 (a (a + b))$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

${(a + b)}^{2} - b a = 0 (a \cdot a + a b)$

Passaggio 6.2.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Moltiplica $a$ per $a$ .

${(a + b)}^{2} - b a = 0 (a^{2} + a b)$

Passaggio 6.2.3.2.2

Moltiplica $0$ per $a^{2} + a b$ .

${(a + b)}^{2} - b a = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Riscrivi ${(a + b)}^{2}$ come $(a + b) (a + b)$ .

$(a + b) (a + b) - b a = 0$

Passaggio 6.3.2

Espandi $(a + b) (a + b)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$a (a + b) + b (a + b) - b a = 0$

Passaggio 6.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$a \cdot a + a b + b (a + b) - b a = 0$

Passaggio 6.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$a \cdot a + a b + b a + b \cdot b - b a = 0$

Passaggio 6.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Moltiplica $a$ per $a$ .

$a^{2} + a b + b a + b \cdot b - b a = 0$

Passaggio 6.3.3.1.2

Moltiplica $b$ per $b$ .

$a^{2} + a b + b a + b^{2} - b a = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Somma $a b$ e $b a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Riordina $b$ e $a$ .

$a^{2} + a b + a b + b^{2} - b a = 0$

Passaggio 6.3.3.2.2

Somma $a b$ e $a b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} - b a = 0$

Passaggio 6.3.4

Sottrai $b a$ da $2 a b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Sposta $b$ .

$a^{2} + b^{2} + 2 a b - 1 a b = 0$

Passaggio 6.3.4.2

Sottrai $a b$ da $2 a b$ .

$a^{2} + b^{2} + 1 a b = 0$

Passaggio 6.3.5

Moltiplica $a$ per $1$ .

$a^{2} + b^{2} + a b = 0$

Passaggio 6.3.6

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.3.7

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = b$ e $c = b^{2}$ nella formula quadratica e risolvi per $a$ .

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot (1 \cdot b^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.1.1

Scomponi $b^{2}$ da $b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.8.1.1.2

Scomponi $b^{2}$ da $- 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.8.1.1.3

Scomponi $b^{2}$ da $b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.8.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.8.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.8.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.8.1.5

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.8.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.8.1.7

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.8.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.3.9

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.9.1.1

Scomponi $b^{2}$ da $b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.9.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.9.1.1.2

Scomponi $b^{2}$ da $- 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.9.1.1.3

Scomponi $b^{2}$ da $b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.9.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.9.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.9.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.9.1.5

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.9.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.9.1.7

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.9.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.3.9.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$a = \frac{- b + b i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.3.9.4

Scomponi $b$ da $- b + b i \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.9.4.1

Scomponi $b$ da $- b$ .

$a = \frac{b \cdot - 1 + b i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.3.9.4.2

Scomponi $b$ da $b i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b \cdot - 1 + b (i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 6.3.9.4.3

Scomponi $b$ da $b \cdot - 1 + b (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (- 1 + i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 6.3.9.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 6.3.9.6

Scomponi $- 1$ da $i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3}))}{2}$

Passaggio 6.3.9.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (- 1 (1 - i \sqrt{3}))}{2}$

Passaggio 6.3.9.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 6.3.10

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.10.1.1

Scomponi $b^{2}$ da $b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.10.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.10.1.1.2

Scomponi $b^{2}$ da $- 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.10.1.1.3

Scomponi $b^{2}$ da $b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.10.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.10.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.10.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.10.1.5

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.10.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.10.1.7

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.3.10.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.3.10.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$a = \frac{- b - b i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.3.10.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.10.4.1

Scomponi $b$ da $- b - b i \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.10.4.1.1

Scomponi $b$ da $- b$ .

$a = \frac{b \cdot - 1 - b i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.3.10.4.1.2

Scomponi $b$ da $- b i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b \cdot - 1 + b (- 1 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 6.3.10.4.1.3

Scomponi $b$ da $b \cdot - 1 + b (- 1 i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (- 1 - 1 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 6.3.10.4.2

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$a = \frac{b (- 1 - i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 6.3.10.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 6.3.10.6

Scomponi $- 1$ da $- i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3}))}{2}$

Passaggio 6.3.10.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (- 1 (1 + i \sqrt{3}))}{2}$

Passaggio 6.3.10.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 6.3.11

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 7

Il dominio è formato da tutti i valori di $a$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${a | a \neq 0}$