Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ è indefinita.

$x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$

Passaggio 2

Calcola $lim_{x \to \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Passaggio 2.1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Passaggio 2.1.1.2.1.2

Calcola il limite di $7$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Passaggio 2.1.1.2.2

Poiché la funzione $e^{3 x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $3$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $3$ rimosso.

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Passaggio 2.1.1.2.2.2

Poiché l'esponente $3 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{3 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{7 + \infty}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Passaggio 2.1.1.2.3

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Passaggio 2.1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} 8 e^{3 x}}$

Passaggio 2.1.1.3.1.2

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{4 - lim_{x \to \infty} 8 e^{3 x}}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Poiché la funzione $e^{3 x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $8$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $8$ rimosso.

$\frac{\infty}{4 - lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2

Poiché l'esponente $3 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{3 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{4 - \infty}$

Passaggio 2.1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.3.1

Una costante diversa da zero moltiplicata per infinito è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{4 + - \infty}$

Passaggio 2.1.1.3.3.2

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2.1.1.3.3.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2.1.1.3.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2.1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2.1.2

Poiché $\frac{\infty}{- \infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 + 3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Passaggio 2.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 + 3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Passaggio 2.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 + 3 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Passaggio 2.1.3.3

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Passaggio 2.1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

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Passaggio 2.1.3.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Passaggio 2.1.3.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Passaggio 2.1.3.4.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Passaggio 2.1.3.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Passaggio 2.1.3.4.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Passaggio 2.1.3.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Passaggio 2.1.3.4.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Passaggio 2.1.3.4.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (3 \cdot e^{3 x})}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Passaggio 2.1.3.4.7

Moltiplica $3$ per $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Passaggio 2.1.3.5

Somma $0$ e $9 e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Passaggio 2.1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - 8 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]}$

Passaggio 2.1.3.7

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]}$

Passaggio 2.1.3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]$ .

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Passaggio 2.1.3.8.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Passaggio 2.1.3.8.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.8.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 2.1.3.8.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 2.1.3.8.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 2.1.3.8.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}$

Passaggio 2.1.3.8.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} (3 \cdot 1))}$

Passaggio 2.1.3.8.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} \cdot 3)}$

Passaggio 2.1.3.8.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (3 \cdot e^{3 x})}$

Passaggio 2.1.3.8.7

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 24 e^{3 x}}$

Passaggio 2.1.3.9

Sottrai $24 e^{3 x}$ da $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{- 24 e^{3 x}}$

Passaggio 2.1.4

Riduci.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Elimina il fattore comune di $9$ e $- 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1.1

Scomponi $3$ da $9 e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{- 24 e^{3 x}}$

Passaggio 2.1.4.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1.2.1

Scomponi $3$ da $- 24 e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{3 (- 8 e^{3 x})}$

Passaggio 2.1.4.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{3 (- 8 e^{3 x})}$

Passaggio 2.1.4.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{- 8 e^{3 x}}$

Passaggio 2.1.4.2

Elimina il fattore comune di $e^{3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{- 8 e^{3 x}}$

Passaggio 2.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{- 8}$

Passaggio 2.2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Calcola il limite di $\frac{3}{- 8}$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{3}{- 8}$

Passaggio 2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{8}$

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to - \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

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Passaggio 3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Passaggio 3.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + lim_{x \to - \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite di $7$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{7 + lim_{x \to - \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Passaggio 3.1.4

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{7 + 3 lim_{x \to - \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Passaggio 3.2

Poiché l'esponente $3 x$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{3 x}$ tende a $0$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} 8 e^{3 x}}$

Passaggio 3.3.2

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - lim_{x \to - \infty} 8 e^{3 x}}$

Passaggio 3.3.3

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - 8 lim_{x \to - \infty} e^{3 x}}$

Passaggio 3.4

Poiché l'esponente $3 x$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{3 x}$ tende a $0$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - 8 \cdot 0}$

Passaggio 3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{7 + 0}{4 - 8 \cdot 0}$

Passaggio 3.5.1.2

Somma $7$ e $0$ .

$\frac{7}{4 - 8 \cdot 0}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.2.1

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$\frac{7}{4 + 0}$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{7}{4}$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = - \frac{3}{8}, \frac{7}{4}$

Passaggio 5

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$

Asintoti orizzontali: $y = - \frac{3}{8}, \frac{7}{4}$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7