Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ è indefinita.

$- 1 \leq x \leq 0$

Passaggio 2

Poiché $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 1$ da sinistra e $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 1$ da destra, allora $x = - 1$ è un asintoto verticale.

$x = - 1$

Passaggio 3

Poiché $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $0$ da sinistra e $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $0$ da destra, allora $x = 0$ è un asintoto verticale.

$x = 0$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - 1, 0$

Passaggio 5

Calcola $lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi $x$ da $x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

Passaggio 5.1.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

Passaggio 5.1.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

Passaggio 5.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

Passaggio 5.2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Passaggio 5.5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Passaggio 5.5.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Passaggio 5.5.3

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Passaggio 5.6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Passaggio 5.7

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

Passaggio 5.8

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Passaggio 5.9

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Passaggio 5.9.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Passaggio 5.9.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Passaggio 5.9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

Passaggio 5.9.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Passaggio 5.9.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Passaggio 5.9.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Passaggio 5.10

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Passaggio 5.11

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

Passaggio 5.11.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.2.1

Dividi $1 + 0$ per $1$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{1 + 0}}$

Passaggio 5.11.2.2

Somma $- 3$ e $0$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1 + 0}}$

Passaggio 5.11.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.2.3.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1}}$

Passaggio 5.11.2.3.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{- 3}{1}$

Passaggio 5.11.2.4

Dividi $- 3$ per $1$ .

$- 3$

Passaggio 6

Calcola $lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi $x$ da $x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

Passaggio 6.1.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

Passaggio 6.1.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

Passaggio 6.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

Passaggio 6.2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Passaggio 6.4.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Passaggio 6.4.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Passaggio 6.5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Passaggio 6.5.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Passaggio 6.5.3

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Passaggio 6.6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Passaggio 6.7

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Passaggio 6.7.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

Passaggio 6.8

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Passaggio 6.9

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Passaggio 6.9.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Passaggio 6.9.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Passaggio 6.9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

Passaggio 6.9.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Passaggio 6.9.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Passaggio 6.9.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Passaggio 6.10

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Passaggio 6.11

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.11.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

Passaggio 6.11.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.11.2.1

Dividi $1 + 0$ per $1$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{1 + 0}}$

Passaggio 6.11.2.2

Somma $- 3$ e $0$ .

$\frac{- 3}{- \sqrt{1 + 0}}$

Passaggio 6.11.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.11.2.3.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{- 3}{- \sqrt{1}}$

Passaggio 6.11.2.3.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{- 3}{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 6.11.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 6.11.2.5

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$3$

Passaggio 7

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = - 3, 3$

Passaggio 8

Per trovare gli asintoti obliqui devi utilizzare la divisione di polinomi. Dal momento che l'espressione contiene un radicale, non è possibile eseguire la divisione di polinomi.

Impossibile trovare asintoti obliqui

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 1, 0$

Asintoti orizzontali: $y = - 3, 3$

Impossibile trovare asintoti obliqui

Passaggio 10