Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{| x | - x}}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{| x | - x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$| x | - x \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scrivi $| x | - x \geq 0$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 2.1.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x - x \geq 0$

Passaggio 2.1.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 2.1.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x - x \geq 0$

Passaggio 2.1.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x - x \geq 0 & x \geq 0 \\ - x - x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 2.1.6

Sottrai $x$ da $x$ .

${\begin{cases} 0 \geq 0 & x \geq 0 \\ - x - x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 2.1.7

Sottrai $x$ da $- x$ .

${\begin{cases} 0 \geq 0 & x \geq 0 \\ - 2 x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 2.2

Risolvi $0 \geq 0$ dove $x \geq 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $0 = 0$ , l'equazione sarà sempre vera.

Sempre vero

Passaggio 2.2.2

Trova l'intersezione.

$x \geq 0$

Passaggio 2.3

Risolvi $- 2 x \geq 0$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x \geq 0$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{0}{- 2}$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{0}{- 2}$

Passaggio 2.3.1.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 2}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $- 2$ .

$x \leq 0$

Passaggio 2.3.2

Trova l'intersezione di $x \leq 0$ e $x < 0$ .

$x < 0$

Passaggio 2.4

Trova l'unione delle soluzioni.

Tutti i numeri reali

Passaggio 3

Imposta il denominatore in $\frac{1}{\sqrt{| x | - x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{| x | - x} = 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{| x | - x}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{| x | - x}$ come ${(| x | - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(| x | - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(| x | - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(| x | - x)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Semplifica.

$| x | - x = 0^{2}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$| x | - x = 0$

Passaggio 4.3

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$| x | = x$

Passaggio 4.4

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x = \pm x$

Passaggio 4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = x$

Passaggio 4.5.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x - x = 0$

Passaggio 4.5.2.2

Sottrai $x$ da $x$ .

$0 = 0$

Passaggio 4.5.3

Poiché $0 = 0$ , l'equazione sarà sempre vera.

Sempre vero

Passaggio 4.5.4

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - x$

Passaggio 4.5.5

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.5.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x + x = 0$

Passaggio 4.5.5.2

Somma $x$ e $x$ .

$2 x = 0$

Passaggio 4.5.6

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.6.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.5.6.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.5.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.6.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 4.5.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x =, 0$

Passaggio 4.6

Verifica ciascuna delle soluzioni sostituendole in $\sqrt{| x | - x} = 0$ e risolvendo.

$x = 0$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 6