Precalcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}}$ come un'equazione.

$y = 5 x^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 5 y^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $5 y^{\frac{1}{4}} = x$ .

$5 y^{\frac{1}{4}} = x$

Passaggio 3.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y^{\frac{1}{4}} = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y^{\frac{1}{4}} = x$ .

$\frac{5 y^{\frac{1}{4}}}{5} = \frac{x}{5}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 y^{\frac{1}{4}}}{5} = \frac{x}{5}$

Passaggio 3.2.2.2

Dividi $y^{\frac{1}{4}}$ per $1$ .

$y^{\frac{1}{4}} = \frac{x}{5}$

Passaggio 3.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $4$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(\frac{x}{5})}^{4}$

Passaggio 3.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{x}{5})}^{4}$

Passaggio 3.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{x}{5})}^{4}$

Passaggio 3.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(\frac{x}{5})}^{4}$

Passaggio 3.4.1.1.2

Semplifica.

$y = {(\frac{x}{5})}^{4}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ${(\frac{x}{5})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{5}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5^{4}}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$y = \frac{x^{4}}{625}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{625}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{625}$ è l'inverso di $f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{{(5 x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{625}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Applica la regola del prodotto a $5 x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{5^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{625}$

Passaggio 5.2.3.2

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{625 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{625}$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{625 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{625}$

Passaggio 5.2.3.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{625 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{625}$

Passaggio 5.2.3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{625 x}{625}$

Passaggio 5.2.3.4

Semplifica.

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{625 x}{625}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $625$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{625 x}{625}$

Passaggio 5.2.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{x^{4}}{625})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 {(\frac{x^{4}}{625})}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 5.3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{x^{4}}{625}$ .

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{{(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{625^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x^{4 (\frac{1}{4})}}{625^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 5.3.4.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x^{4 (\frac{1}{4})}}{625^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 5.3.4.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{625^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{625^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 5.3.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Riscrivi $625$ come $5^{4}$ .

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{{(5^{4})}^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 5.3.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{5^{4 (\frac{1}{4})}})$

Passaggio 5.3.5.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{5^{4 (\frac{1}{4})}})$

Passaggio 5.3.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{5})$

Passaggio 5.3.5.4

Calcola l'esponente.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{5})$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{5})$

Passaggio 5.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{625}$ è l'inverso di $f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{625}$