Precalcolo Esempi

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$ è indefinita.

$x = - 1, x = 1$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 1$ da sinistra e $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 1$ da destra, allora $x = - 1$ è un asintoto verticale.

$x = - 1$

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 6.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 6.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} - 1}$

Passaggio 6.1.1.3

Semplifica.

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Passaggio 6.1.1.3.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x^{2} - 1}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 1}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.1.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 6.1.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 6.1.3

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 6.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}$

Passaggio 6.2

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$1$

Passaggio 6.3

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$

Passaggio 6.4

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 6.5

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 6.6

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
						$0$

Passaggio 6.7

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
						$0$	+	$1$

Passaggio 6.8

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x + \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 6.9

Dividi la soluzione in porzione polinomiale e resto.

$x + \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Passaggio 6.10

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 1$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x$

Passaggio 8