Precalcolo Esempi

$9 x^{2} - 16 y^{2} - 144 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

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Passaggio 1.1

Somma $144$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 x^{2} - 16 y^{2} = 144$

Passaggio 1.2

Dividi per $144$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{9 x^{2}}{144} - \frac{16 y^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Passaggio 1.3

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{16 + {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{16 + 9}$

Passaggio 5.3.3

Somma $16$ e $9$ .

$\sqrt{25}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Passaggio 5.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$5$

Passaggio 6

Trova i vertici.

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Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(4, 0)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 4, 0)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(4, 0), (- 4, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

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Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(5, 0)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 5, 0)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(5, 0), (- 5, 0)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

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Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}}{4}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 3^{2}}}{4}$

Passaggio 8.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

Passaggio 8.3.3

Somma $16$ e $9$ .

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

Passaggio 8.3.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

Passaggio 8.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{5}{4}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

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Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{3^{2}}{5}$

Passaggio 9.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{9}{5}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{3}{4} x + 0$

Passaggio 11

Semplifica $\frac{3}{4} x + 0$ .

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Passaggio 11.1

Somma $\frac{3}{4} x$ e $0$ .

$y = \frac{3}{4} x$

Passaggio 11.2

$\frac{3}{4}$ e $x$ .

$y = \frac{3 x}{4}$

Passaggio 12

Semplifica $- \frac{3}{4} x + 0$ .

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Passaggio 12.1

Somma $- \frac{3}{4} x$ e $0$ .

$y = - \frac{3}{4} x$

Passaggio 12.2

$x$ e $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4}$

Passaggio 12.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{3 x}{4}, y = - \frac{3 x}{4}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(0, 0)$

Vertici: $(4, 0), (- 4, 0)$

Fuochi: $(5, 0), (- 5, 0)$

Eccentricità: $\frac{5}{4}$

Asse focale: $\frac{9}{5}$

Asintoti: $y = \frac{3 x}{4}$ , $y = - \frac{3 x}{4}$

Passaggio 15