Precalcolo Esempi

$\log_{3} (\sqrt{x} + 1) = 1$

Passaggio 1

Imposta l'argomento in $\log_{3} (\sqrt{x} + 1)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\sqrt{x} + 1 > 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\sqrt{x} > - 1$

Passaggio 2.2

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{x}}^{2} > {(- 1)}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

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Passaggio 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- 1)}^{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- 1)}^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- 1)}^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} > {(- 1)}^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Semplifica.

$x > {(- 1)}^{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x > 1$

Passaggio 2.4

Trova il dominio di $\sqrt{x} + 1$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 2.4.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 2.5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 2.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 2.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 2.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{- 2} + 1 > 0$

Passaggio 2.6.1.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

Falso

Passaggio 2.6.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.5$

Passaggio 2.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0.5$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{0.5} + 1 > 0$

Passaggio 2.6.2.3

Il lato sinistro di $1.70710678$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 2.6.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{4} + 1 > 0$

Passaggio 2.6.3.3

Il lato sinistro di $3$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Vero

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Vero

Passaggio 2.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 < x < 1$ o $x > 1$

Passaggio 3

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 4

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(0, 1) \cup (1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0, x \neq 1}$

Passaggio 5