Precalcolo Esempi

$f (x, y) = \sqrt{\ln (x + y)}$

Passaggio 1

Risolvi per $\sqrt{\ln (x + y)}$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{\ln (x + y)} = f (x, y)$ .

$\sqrt{\ln (x + y)} = f (x, y)$

Passaggio 1.2

Moltiplica $f$ per ogni elemento della matrice.

$\sqrt{\ln (x + y)} = (f x, f y)$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{\ln (x + y)}}^{2} = {(f x, f y)}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\ln (x + y)}$ come ${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(f x, f y)}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(f x, f y)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(f x, f y)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln^{1} (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica.

$\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.1

Sottrai ${(f x, f y)}^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (x + y) - {(f x, f y)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Riscrivi $\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Passaggio 4.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.4.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Passaggio 4.4.2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 4.4.2.1

Espandi $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ spostando ${(f x, f y)}^{2}$ fuori dal logaritmo.

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Passaggio 4.4.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Passaggio 4.4.2.3

Moltiplica ${(f x, f y)}^{2}$ per $1$ .

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Passaggio 4.4.3

Sottrai $\ln (x + y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

Passaggio 4.4.4

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Passaggio 4.4.5

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Passaggio 4.4.6

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.6.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Passaggio 4.4.6.2

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.6.2.1

Espandi $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ spostando ${(f x, f y)}^{2}$ fuori dal logaritmo.

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Passaggio 4.4.6.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Passaggio 4.4.6.2.3

Moltiplica ${(f x, f y)}^{2}$ per $1$ .

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Passaggio 4.4.6.3

Sottrai $\ln (x + y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

Passaggio 4.4.6.4

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Passaggio 4.4.6.5

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Passaggio 4.4.6.6

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.6.6.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Passaggio 4.4.6.6.2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 4.4.6.6.2.1

Espandi $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ spostando ${(f x, f y)}^{2}$ fuori dal logaritmo.

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Passaggio 4.4.6.6.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Passaggio 4.4.6.6.2.3

Moltiplica ${(f x, f y)}^{2}$ per $1$ .

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Passaggio 4.4.6.6.3

Sottrai $\ln (x + y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

Passaggio 4.4.6.6.4

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Passaggio 4.4.6.6.5

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Passaggio 4.4.6.6.6

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.6.6.6.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Passaggio 4.4.6.6.6.2

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.6.6.6.2.1

Espandi $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ spostando ${(f x, f y)}^{2}$ fuori dal logaritmo.

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Passaggio 4.4.6.6.6.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Passaggio 4.4.6.6.6.2.3

Moltiplica ${(f x, f y)}^{2}$ per $1$ .

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Passaggio 5

Imposta l'argomento in $\ln (x + y)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x + y > 0$

Passaggio 6

Sottrai $y$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x > - y$

Passaggio 7

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$