Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$ è indefinita.

$x = 0, x = 4$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $4$ da sinistra e $\frac{x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $4$ da destra, allora $x = 4$ è un asintoto verticale.

$x = 4$

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 6.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} - 4 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.1.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 4 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4}{x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.1.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 4)}{x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 2^{2})}{x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2)}{x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2)}{x \cdot x - 4 x}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Scomponi $x$ da $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2)}{x \cdot x + x \cdot - 4}$

Passaggio 6.1.2.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2)}{x (x - 4)}$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{x ((x (x + 2)) (x - 2))}{x (x - 4)}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x ((x (x + 2)) (x - 2))}{x (x - 4)}$

Passaggio 6.1.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x (x + 2)) (x - 2)}{x - 4}$

$\frac{x (x + 2) (x - 2)}{x - 4}$

Passaggio 6.2

Espandi $x (x + 2) (x - 2)$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x \cdot x + x \cdot 2) (x - 2)}{x - 4}$

Passaggio 6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x (x - 2) + x \cdot (2 (x - 2))}{x - 4}$

Passaggio 6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot - 2 + x \cdot (2 (x - 2))}{x - 4}$

Passaggio 6.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot - 2 + x \cdot (2 x) + x \cdot 2 \cdot - 2}{x - 4}$

Passaggio 6.2.5

Sposta $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot (- 2 x) + x \cdot (2 x) + x \cdot 2 \cdot - 2}{x - 4}$

Passaggio 6.2.6

Riordina $x$ e $- 2$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot (2 x) + x \cdot 2 \cdot - 2}{x - 4}$

Passaggio 6.2.7

Riordina $x$ e $2$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 2 \cdot - 2}{x - 4}$

Passaggio 6.2.8

Riordina $x$ e $2$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot x \cdot - 2}{x - 4}$

Passaggio 6.2.9

Sposta $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Passaggio 6.2.10

Moltiplica $- 2$ per $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Passaggio 6.2.11

Moltiplica $2$ per $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Passaggio 6.2.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Passaggio 6.2.13

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Passaggio 6.2.14

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 1} x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Passaggio 6.2.15

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Passaggio 6.2.16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Passaggio 6.2.17

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2 + 1} - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Passaggio 6.2.18

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Passaggio 6.2.19

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Passaggio 6.2.20

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Passaggio 6.2.21

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3} - 2 x^{1 + 1} + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Passaggio 6.2.22

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Passaggio 6.2.23

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Passaggio 6.2.24

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Passaggio 6.2.25

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Passaggio 6.2.26

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Passaggio 6.2.27

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 4 x}{x - 4}$

Passaggio 6.2.28

Somma $- 2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 - 4 x}{x - 4}$

Passaggio 6.2.29

Sottrai $4 x$ da $0$ .

$\frac{x^{3} - 4 x}{x - 4}$

Passaggio 6.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$0$

Passaggio 6.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$

Passaggio 6.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 6.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Passaggio 6.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Passaggio 6.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 6.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 6.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$

Passaggio 6.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{2} - 16 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$

Passaggio 6.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$

Passaggio 6.13

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$

Passaggio 6.14

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $12 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$12$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$

Passaggio 6.15

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$12$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$
							+	$12 x$	-	$48$

Passaggio 6.16

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $12 x - 48$

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$12$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$
							-	$12 x$	+	$48$

Passaggio 6.17

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$12$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$
							-	$12 x$	+	$48$
									+	$48$

Passaggio 6.18

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x^{2} + 4 x + 12 + \frac{48}{x - 4}$

Passaggio 6.19

Dividi la soluzione in porzione polinomiale e resto.

$x^{2} + 4 x + 12 + \frac{48 x}{x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.20

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x^{2} + 4 x + 12$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 4$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x^{2} + 4 x + 12$

Passaggio 8