Precalcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x + 2}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \sqrt{x + 2}$ come un'equazione.

$y = \sqrt{x + 2}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{y + 2}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{y + 2} = x$ .

$\sqrt{y + 2} = x$

Passaggio 3.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y + 2}}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y + 2}$ come ${(y + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y + 2)}^{1} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica.

$y + 2 = x^{2}$

Passaggio 3.4

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = x^{2} - 2$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{x + 2}$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt{x + 2})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = {(\sqrt{x + 2})}^{2} - 2$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi ${\sqrt{x + 2}}^{2}$ come $x + 2$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 2}$ come ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2$

Passaggio 5.2.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2$

Passaggio 5.2.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} - 2$

Passaggio 5.2.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} - 2$

Passaggio 5.2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = (x + 2) - 2$

Passaggio 5.2.3.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = x + 2 - 2$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x + 2 - 2$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (x^{2} - 2)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 2) = \sqrt{(x^{2} - 2) + 2}$

Passaggio 5.3.3

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (x^{2} - 2) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Passaggio 5.3.4

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$f (x^{2} - 2) = \sqrt{x^{2}}$

Passaggio 5.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (x^{2} - 2) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2$