Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 3}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$

Passaggio 1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x^{2} - 3}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$x^{3} + 1 + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$x^{3} + 1^{3} + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Passaggio 2.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Passaggio 2.1.4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2} + 3 x$ .

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Passaggio 2.1.5.1

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x) + 3 x = 0$

Passaggio 2.1.5.2

Scomponi $3 x$ da $3 x$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x) + 3 x (1) = 0$

Passaggio 2.1.5.3

Scomponi $3 x$ da $3 x (x) + 3 x (1)$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x + 1) = 0$

Passaggio 2.1.6

Scomponi $x + 1$ da $(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x + 1)$ .

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Passaggio 2.1.6.1

Scomponi $x + 1$ da $3 x (x + 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (3 x) = 0$

Passaggio 2.1.6.2

Scomponi $x + 1$ da $(x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (3 x)$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1 + 3 x) = 0$

Passaggio 2.1.7

Somma $- x$ e $3 x$ .

$(x + 1) (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Passaggio 2.1.8

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1.8.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(x + 1) (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.8.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 2.1.8.3

Riscrivi il polinomio.

$(x + 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.8.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(x + 1) {(x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) {(x + 1)}^{2} = 0$ vera.

$x = - 1$

Passaggio 3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 1}$

Passaggio 4