Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ come un'equazione.

$y = \frac{\sqrt{x}}{5}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{\sqrt{y}}{5}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{\sqrt{y}}{5} = x$ .

$\frac{\sqrt{y}}{5} = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $5$ .

$5 \frac{\sqrt{y}}{5} = 5 x$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{\sqrt{y}}{5} = 5 x$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{y} = 5 x$

Passaggio 3.4

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y}}^{2} = {(5 x)}^{2}$

Passaggio 3.5

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 x)}^{2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 x)}^{2}$

Passaggio 3.5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 x)}^{2}$

Passaggio 3.5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(5 x)}^{2}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Semplifica.

$y = {(5 x)}^{2}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Semplifica ${(5 x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 x$ .

$y = 5^{2} x^{2}$

Passaggio 3.5.3.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$y = 25 x^{2}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 {(\frac{\sqrt{x}}{5})}^{2}$

Passaggio 5.2.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{x}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{{\sqrt{x}}^{2}}{5^{2}})$

Passaggio 5.2.4

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}})$

Passaggio 5.2.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}})$

Passaggio 5.2.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{5^{2}})$

Passaggio 5.2.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{5^{2}})$

Passaggio 5.2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{5^{2}})$

Passaggio 5.2.4.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{5^{2}})$

Passaggio 5.2.5

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{25})$

Passaggio 5.2.6

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{25})$

Passaggio 5.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (25 x^{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (25 x^{2}) = \frac{\sqrt{25 x^{2}}}{5}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riscrivi $25 x^{2}$ come ${(5 x)}^{2}$ .

$f (25 x^{2}) = \frac{\sqrt{{(5 x)}^{2}}}{5}$

Passaggio 5.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (25 x^{2}) = \frac{5 x}{5}$

Passaggio 5.3.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (25 x^{2}) = \frac{5 x}{5}$

Passaggio 5.3.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f (25 x^{2}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$