Precalcolo Esempi

$f_{(x)} = \frac{- x^{2} - 3 x + 4}{2 x + 1}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{- x^{2} - 3 x + 4}{2 x + 1}$ è indefinita.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ e la cui somma è $b = - 3$ .

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Passaggio 5.1.1.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x$ .

$\frac{- x^{2} - 3 (x) + 4}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.1.1.2

Riscrivi $- 3$ come $1$ più $- 4$ .

$\frac{- x^{2} + (1 - 4) x + 4}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} + 1 x - 4 x + 4}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.1.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{- x^{2} + x - 4 x + 4}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- x^{2} + x) - 4 x + 4}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (- x + 1) + 4 (- x + 1)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 1$ .

$\frac{(- x + 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{(- (x) + 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.3

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x + 4)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Riscrivi $- (x - 1)$ come $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(x - 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2

Espandi $- (x - 1) (x + 4)$ .

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Passaggio 5.2.1

Nega $x - 1$ .

$\frac{- (x - 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(- x + 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x (x + 4) + 1 (x + 4)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 4 + 1 (x + 4)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.6

Sposta $x$ .

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (4 x) + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.7

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (4 x) + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (4 x) + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.9

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (4 x) + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (4 x) + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.11

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (4 x) + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.12

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.13

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.14

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.16

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x + x + 4}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.17

Somma $- 4 x$ e $x$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 4}{2 x + 1}$

Passaggio 5.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$3 x$

$4$

Passaggio 5.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				-	$\frac{x}{2}$
	$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$

Passaggio 5.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$

Passaggio 5.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} - \frac{x}{2}$

			-	$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$

Passaggio 5.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$

Passaggio 5.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	+	$4$

Passaggio 5.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- \frac{5 x}{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

			-	$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	+	$4$

Passaggio 5.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	+	$4$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$

Passaggio 5.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- \frac{5 x}{2} - \frac{5}{4}$

			-	$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	+	$4$
					+	$\frac{5 x}{2}$	+	$\frac{5}{4}$

Passaggio 5.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	+	$4$
					+	$\frac{5 x}{2}$	+	$\frac{5}{4}$
							+	$\frac{21}{4}$

Passaggio 5.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$- \frac{x}{2} - \frac{5}{4} + \frac{21}{4 (2 x + 1)}$

Passaggio 5.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - \frac{1}{2}$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = - \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$

Passaggio 7