Precalcolo Esempi

$g (x) = \frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ è indefinita.

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, x = 1$

Passaggio 2

Poiché $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ da sinistra e $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ da destra, allora $x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ è un asintoto verticale.

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ da sinistra e $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ da destra, allora $x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ è un asintoto verticale.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $1$ da sinistra e $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $1$ da destra, allora $x = 1$ è un asintoto verticale.

$x = 1$

Passaggio 5

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 1$

Passaggio 6

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 7

Trova $n$ e $m$ .

$n = 5$

$m = 3$

Passaggio 8

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 9

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 9.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x^{5}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{3}$ .

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 9.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

Passaggio 9.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x^{5} + 0 - 10 x^{3} + 5 x^{2}$

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

Passaggio 9.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

Passaggio 9.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 9.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $10 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{3}$ .

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 9.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

$10 x^{3}$

$0$

$20 x$

$10$

Passaggio 9.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $10 x^{3} + 0 - 20 x + 10$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

$10 x^{3}$

$0$

$20 x$

$10$

Passaggio 9.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

$10 x^{3}$

$0$

$20 x$

$10$

$5 x^{2}$

$20 x$

$10$

Passaggio 9.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$5 x^{2} + 10 + \frac{- 5 x^{2} + 20 x - 10}{x^{3} - 2 x + 1}$

Passaggio 9.12

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = 5 x^{2} + 10$

Passaggio 10

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 1$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = 5 x^{2} + 10$

Passaggio 11