Precalcolo Esempi

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - {(x - 5)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Isola $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi ${(x - 5)}^{2}$ come $(x - 5) (x - 5)$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - ((x - 5) (x - 5))$

Passaggio 1.1.1.2

Espandi $(x - 5) (x - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x (x - 5) - 5 (x - 5))$

Passaggio 1.1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5))$

Passaggio 1.1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Passaggio 1.1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Passaggio 1.1.1.3.1.2

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Passaggio 1.1.1.3.1.3

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 x - 5 x + 25)$

Passaggio 1.1.1.3.2

Sottrai $5 x$ da $- 5 x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 10 x + 25)$

Passaggio 1.1.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} - (- 10 x) - 1 \cdot 25$

Passaggio 1.1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.1

Moltiplica $- 10$ per $- 1$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 1 \cdot 25$

Passaggio 1.1.1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 25$

Passaggio 1.1.2

Riordina i termini.

$y = - x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $- x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.1

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$- x^{2} + 3 ((x - 2) (x - 2)) + 10 x - 25$

Passaggio 1.2.1.1.2

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- x^{2} + 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

Passaggio 1.2.1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

Passaggio 1.2.1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Passaggio 1.2.1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Passaggio 1.2.1.1.3.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Passaggio 1.2.1.1.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 10 x - 25$

Passaggio 1.2.1.1.3.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 4 x + 4) + 10 x - 25$

Passaggio 1.2.1.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$- x^{2} + 3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

Passaggio 1.2.1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.5.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

Passaggio 1.2.1.1.5.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

Passaggio 1.2.1.2

Somma $- x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

Passaggio 1.2.1.3

Somma $- 12 x$ e $10 x$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 - 25$

Passaggio 1.2.1.4

Sottrai $25$ da $12$ .

$2 x^{2} - 2 x - 13$

Passaggio 1.2.2

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = - 2$

$c = - 13$

Passaggio 1.2.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (2)}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 13 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(- 2)}^{2}$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.1.1

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$e = - 13 - \frac{{(- 1 (2))}^{2}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $- 1 (2)$ .

$e = - 13 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.1.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = - 13 - \frac{1 \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.1.1.4

Moltiplica $2^{2}$ per $1$ .

$e = - 13 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.1.1.5

Scomponi $2$ da $2^{2}$ .

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.1.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.1.6.1

Scomponi $2$ da $4 \cdot 2$ .

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Passaggio 1.2.5.2.1.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Passaggio 1.2.5.2.1.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e = - 13 - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Per scrivere $- 13$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$e = - 13 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.3

$- 13$ e $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 13 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{- 13 \cdot 2 - 1}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1

Moltiplica $- 13$ per $2$ .

$e = \frac{- 26 - 1}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.5.2

Sottrai $1$ da $- 26$ .

$e = \frac{- 27}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = - \frac{27}{2}$

Passaggio 1.2.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$ .

$2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

Passaggio 1.3

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = 2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

Passaggio 2

Usa la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 2$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{27}{2}$

Passaggio 3

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{27}{2})$

Passaggio 4