Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3} - x}{3 x^{2} - 6 x}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{3} - x}{3 x^{2} - 6 x}$ è indefinita.

$x = 0, x = 2$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x^{3} - x}{3 x^{2} - 6 x}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $2$ da sinistra e $\frac{x^{3} - x}{3 x^{2} - 6 x}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $2$ da destra, allora $x = 2$ è un asintoto verticale.

$x = 2$

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 6.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - x$ .

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Passaggio 6.1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - x}{3 x^{2} - 6 x}$

Passaggio 6.1.1.1.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}{3 x^{2} - 6 x}$

Passaggio 6.1.1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (x^{2} - 1)}{3 x^{2} - 6 x}$

Passaggio 6.1.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x (x^{2} - 1^{2})}{3 x^{2} - 6 x}$

Passaggio 6.1.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{3 x^{2} - 6 x}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2} - 6 x$ .

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Passaggio 6.1.2.1.1

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{3 x (x) - 6 x}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Scomponi $3 x$ da $- 6 x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{3 x (x) + 3 x (- 2)}$

Passaggio 6.1.2.1.3

Scomponi $3 x$ da $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{3 x (x - 2)}$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 6.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{3 x (x - 2)}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{3 (x - 2)}$

Passaggio 6.2

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1)}{3 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{3 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.4

Riordina $x$ e $- 1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.9

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x - 1}{3 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.11

Somma $- 1 x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1}{3 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.12

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{3 (x - 2)}$

Passaggio 6.3

Espandi $3 (x - 2)$ .

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Passaggio 6.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 1}{3 x + 3 \cdot - 2}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 1}{3 x - 6}$

Passaggio 6.4

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$6$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 6.5

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

					$\frac{x}{3}$
	$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Passaggio 6.6

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 6.7

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - 2 x$

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 6.8

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$

Passaggio 6.9

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	-	$1$

Passaggio 6.10

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	-	$1$

Passaggio 6.11

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	-	$4$

Passaggio 6.12

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x - 4$

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	-	$1$
					-	$2 x$	+	$4$

Passaggio 6.13

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	-	$1$
					-	$2 x$	+	$4$
							+	$3$

Passaggio 6.14

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{x}{3} + \frac{2}{3} + \frac{3}{3 x - 6}$

Passaggio 6.15

Dividi la soluzione in porzione polinomiale e resto.

$\frac{x}{3} + \frac{2}{3} + \frac{3 x}{3 x^{2} - 6 x}$

Passaggio 6.16

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 2$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Passaggio 8