Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x + 3}{x^{2} - 5}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{3} - 2 x + 3}{x^{2} - 5}$ è indefinita.

$x = - \sqrt{5}, x = \sqrt{5}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x^{3} - 2 x + 3}{x^{2} - 5}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- \sqrt{5}$ da sinistra e $\frac{x^{3} - 2 x + 3}{x^{2} - 5}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- \sqrt{5}$ da destra, allora $x = - \sqrt{5}$ è un asintoto verticale.

$x = - \sqrt{5}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{x^{3} - 2 x + 3}{x^{2} - 5}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $\sqrt{5}$ da sinistra e $\frac{x^{3} - 2 x + 3}{x^{2} - 5}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $\sqrt{5}$ da destra, allora $x = \sqrt{5}$ è un asintoto verticale.

$x = \sqrt{5}$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - \sqrt{5}, \sqrt{5}$

Passaggio 5

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 7

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 8

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 8.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

Passaggio 8.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

Passaggio 8.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{3}$

$0$

$5 x$

Passaggio 8.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 0 - 5 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{3}$

$0$

$5 x$

Passaggio 8.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{3}$

$0$

$5 x$

$3 x$

Passaggio 8.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{3}$

$0$

$5 x$

$3 x$

$3$

Passaggio 8.7

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x + \frac{3 x + 3}{x^{2} - 5}$

Passaggio 8.8

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x$

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - \sqrt{5}, \sqrt{5}$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x$

Passaggio 10