Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3} - x^{2} - 12 x}{2 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{3} - x^{2} - 12 x}{2 x^{2} - 4 x}$ è indefinita.

$x = 0, x = 2$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x^{3} - x^{2} - 12 x}{2 x^{2} - 4 x}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $2$ da sinistra e $\frac{x^{3} - x^{2} - 12 x}{2 x^{2} - 4 x}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $2$ da destra, allora $x = 2$ è un asintoto verticale.

$x = 2$

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 6.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - x^{2} - 12 x$ .

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Passaggio 6.1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - x^{2} - 12 x}{2 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.1.1.2

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) - 12 x}{2 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.1.1.3

Scomponi $x$ da $- 12 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 12}{2 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.1.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x (- x)$ .

$\frac{x (x^{2} - x) + x \cdot - 12}{2 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.1.1.5

Scomponi $x$ da $x (x^{2} - x) + x \cdot - 12$ .

$\frac{x (x^{2} - x - 12)}{2 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.1.2

Scomponi $x^{2} - x - 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.1.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 4, 3$

Passaggio 6.1.1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{x ((x - 4) (x + 3))}{2 x^{2} - 4 x}$

$\frac{x (x - 4) (x + 3)}{2 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{2} - 4 x$ .

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Passaggio 6.1.2.1.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 3)}{2 x (x) - 4 x}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Scomponi $2 x$ da $- 4 x$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 3)}{2 x (x) + 2 x (- 2)}$

Passaggio 6.1.2.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (x) + 2 x (- 2)$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 3)}{2 x (x - 2)}$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 6.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x - 4) (x + 3)}{2 x (x - 2)}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{2 (x - 2)}$

Passaggio 6.2

Espandi $(x - 4) (x + 3)$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x + 3) - 4 (x + 3)}{2 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 - 4 (x + 3)}{2 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 - 4 x - 4 \cdot 3}{2 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.4

Riordina $x$ e $3$ .

$\frac{x \cdot x + 3 x - 4 x - 4 \cdot 3}{2 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x + 3 x - 4 x - 4 \cdot 3}{2 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x + 3 x - 4 x - 4 \cdot 3}{2 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 1} + 3 x - 4 x - 4 \cdot 3}{2 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 4 x - 4 \cdot 3}{2 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.9

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 4 x - 12}{2 (x - 2)}$

Passaggio 6.2.10

Sottrai $4 x$ da $3 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 12}{2 (x - 2)}$

Passaggio 6.3

Espandi $2 (x - 2)$ .

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Passaggio 6.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - x - 12}{2 x + 2 \cdot - 2}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{x^{2} - x - 12}{2 x - 4}$

Passaggio 6.4

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$4$

$x^{2}$

$x$

$12$

Passaggio 6.5

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$\frac{x}{2}$
	$2 x$	-	$4$		$x^{2}$	-	$x$	-	$12$

Passaggio 6.6

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	-	$4$		$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 6.7

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - 2 x$

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	-	$4$		$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 6.8

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	-	$4$		$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$

Passaggio 6.9

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	-	$4$		$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	-	$12$

Passaggio 6.10

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$\frac{x}{2}$	+	$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$4$		$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	-	$12$

Passaggio 6.11

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{x}{2}$	+	$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$4$		$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	-	$12$
					+	$x$	-	$2$

Passaggio 6.12

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x - 2$

				$\frac{x}{2}$	+	$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$4$		$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	-	$12$
					-	$x$	+	$2$

Passaggio 6.13

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{x}{2}$	+	$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$4$		$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	-	$12$
					-	$x$	+	$2$
							-	$10$

Passaggio 6.14

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} - \frac{10}{2 x - 4}$

Passaggio 6.15

Dividi la soluzione in porzione polinomiale e resto.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{- 10 x}{2 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.16

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 2$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 8