Precalcolo Esempi

$y = \frac{4 x^{2} + 12 x}{x + 7}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{4 x^{2} + 12 x}{x + 7}$ è indefinita.

$x = - 7$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 5.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{2} + 12 x$ .

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x) + 12 x}{x + 7}$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $4 x$ da $12 x$ .

$\frac{4 x (x) + 4 x (3)}{x + 7}$

Passaggio 5.1.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x) + 4 x (3)$ .

$\frac{4 x (x + 3)}{x + 7}$

Passaggio 5.2

Espandi $4 x (x + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot 3}{x + 7}$

Passaggio 5.2.2

Sposta $x$ .

$\frac{4 x \cdot x + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Passaggio 5.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Passaggio 5.2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Passaggio 5.2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x^{1 + 1} + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Passaggio 5.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{4 x^{2} + 12 x}{x + 7}$

Passaggio 5.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$7$

$4 x^{2}$

$12 x$

$0$

Passaggio 5.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$4 x$
	$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$

Passaggio 5.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			+	$4 x^{2}$	+	$28 x$

Passaggio 5.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{2} + 28 x$

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$

Passaggio 5.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$

Passaggio 5.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$

Passaggio 5.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 16 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$

Passaggio 5.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$
					-	$16 x$	-	$112$

Passaggio 5.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 16 x - 112$

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$
					+	$16 x$	+	$112$

Passaggio 5.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$
					+	$16 x$	+	$112$
							+	$112$

Passaggio 5.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$4 x - 16 + \frac{112}{x + 7}$

Passaggio 5.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = 4 x - 16$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 7$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = 4 x - 16$

Passaggio 7