Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{7} + 3$ ; find $f^{- 1} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = x^{7} + 3$ come un'equazione.

$y = x^{7} + 3$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = y^{7} + 3$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $y^{7} + 3 = x$ .

$y^{7} + 3 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{7} = x - 3$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[7]{x - 3}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x - 3}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x - 3}$ è l'inverso di $f (x) = x^{7} + 3$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (x^{7} + 3)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{7} + 3) = \sqrt[7]{(x^{7} + 3) - 3}$

Passaggio 5.2.3

Sottrai $3$ da $3$ .

$f^{- 1} (x^{7} + 3) = \sqrt[7]{x^{7} + 0}$

Passaggio 5.2.4

Somma $x^{7}$ e $0$ .

$f^{- 1} (x^{7} + 3) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Passaggio 5.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} (x^{7} + 3) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\sqrt[7]{x - 3})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[7]{x - 3}) = {(\sqrt[7]{x - 3})}^{7} + 3$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi ${\sqrt[7]{x - 3}}^{7}$ come $x - 3$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[7]{x - 3}$ come ${(x - 3)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{x - 3}) = {({(x - 3)}^{\frac{1}{7}})}^{7} + 3$

Passaggio 5.3.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{x - 3}) = {(x - 3)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} + 3$

Passaggio 5.3.3.3

$\frac{1}{7}$ e $7$ .

$f (\sqrt[7]{x - 3}) = {(x - 3)}^{\frac{7}{7}} + 3$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina il fattore comune di $7$ .

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Passaggio 5.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt[7]{x - 3}) = {(x - 3)}^{\frac{7}{7}} + 3$

Passaggio 5.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt[7]{x - 3}) = (x - 3) + 3$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica.

$f (\sqrt[7]{x - 3}) = x - 3 + 3$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $x - 3 + 3$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Somma $- 3$ e $3$ .

$f (\sqrt[7]{x - 3}) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\sqrt[7]{x - 3}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x - 3}$ è l'inverso di $f (x) = x^{7} + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x - 3}$