Precalcolo Esempi

$y = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ è indefinita.

$- 1 \leq x \leq 1$

Passaggio 2

Poiché $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 1$ da sinistra e $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 1$ da destra, allora $x = - 1$ è un asintoto verticale.

$x = - 1$

Passaggio 3

Poiché $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $1$ da sinistra e $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $1$ da destra, allora $x = 1$ è un asintoto verticale.

$x = 1$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - 1, 1$

Passaggio 5

Calcola $lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1^{2}}}$

Passaggio 5.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.3

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.4.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.4.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.4.4

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.5

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 5.5.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 5.5.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 5.5.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 5.5.1.2.4

Riordina $x$ e $- 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 5.5.1.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 5.5.1.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 5.5.1.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 5.5.1.2.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 5.5.1.2.8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.8.2.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 5.5.1.2.8.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 5.5.1.2.8.3

Somma $- 1 x$ e $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 5.5.1.2.8.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 5.5.1.2.9

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 5.5.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Passaggio 5.5.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Passaggio 5.5.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 5.5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 5.5.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 5.5.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 5.5.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 5.5.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 5.5.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 5.5.3.7

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 5.5.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 5.5.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 5.5.3.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 5.5.3.11

Somma $1$ e $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 5.5.3.12

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 5.5.3.13

Somma $x$ e $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 5.5.3.14

Sottrai $1$ da $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 5.5.3.15

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 5.5.3.16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Passaggio 5.5.4

Riduci.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Passaggio 5.5.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

Passaggio 5.5.4.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

Passaggio 5.5.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1}}$

Passaggio 5.6

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Passaggio 5.6.2.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{1}{1})$

Passaggio 5.6.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot 1$

Passaggio 5.6.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 6

Calcola $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1^{2}}}$

Passaggio 6.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 6.3

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.4.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.4.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.4.4

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.4.5

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Passaggio 6.5

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 1) (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 6.5.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 6.5.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 6.5.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 6.5.1.2.4

Riordina $x$ e $- 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 6.5.1.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 6.5.1.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 6.5.1.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 6.5.1.2.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 6.5.1.2.8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.2.8.2.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 6.5.1.2.8.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 6.5.1.2.8.3

Somma $- 1 x$ e $x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 6.5.1.2.8.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 6.5.1.2.9

Il limite che tende a meno infinito di un polinomio con grado pari il cui coefficiente direttivo è positivo è infinito.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Passaggio 6.5.1.3

Il limite che tende a meno infinito di un polinomio con grado pari il cui coefficiente direttivo è positivo è infinito.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Passaggio 6.5.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Passaggio 6.5.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 6.5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 6.5.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 6.5.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 6.5.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 6.5.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 6.5.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 6.5.3.7

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 6.5.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 6.5.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 6.5.3.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 6.5.3.11

Somma $1$ e $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 6.5.3.12

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 6.5.3.13

Somma $x$ e $x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1 - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 6.5.3.14

Sottrai $1$ da $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 6.5.3.15

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Passaggio 6.5.3.16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Passaggio 6.5.4

Riduci.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Passaggio 6.5.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}$

Passaggio 6.5.4.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}$

Passaggio 6.5.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Passaggio 6.6

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{1}}$

Passaggio 6.6.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1}}$

Passaggio 6.6.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1}})$

Passaggio 6.6.2.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$2 (- \frac{1}{1})$

Passaggio 6.6.2.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$2 (- \frac{1}{1})$

Passaggio 6.6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.6.2.4

Moltiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 \cdot - 1$

Passaggio 6.6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2$

Passaggio 7

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = 2, - 2$

Passaggio 8

Per trovare gli asintoti obliqui devi utilizzare la divisione di polinomi. Dal momento che l'espressione contiene un radicale, non è possibile eseguire la divisione di polinomi.

Impossibile trovare asintoti obliqui

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 1, 1$

Asintoti orizzontali: $y = 2, - 2$

Impossibile trovare asintoti obliqui

Passaggio 10